Calcular el área con simple y doble integrales

Question

Tengo un examen en el cálculo de la próxima semana y estoy confundido con el uso de simple y doble integrales. Que yo sepa, si se desea calcular el área bajo la curva de una función de $f(x)$$a$$b$, usted tiene que calcular una integral entre esos dos puntos: $$\int_{a}^{b}f(x)dx$$

Si se desea calcular la integral entre esos puntos, teniendo como límites superior e inferior de dos funciones, a saber,$f(x)$$g(x)$, usted tiene que calcular la integral de la resta de estas funciones: $$(1)\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx$$ donde $f(x)$ es la parte superior de la función y $g(x)$ la inferior.

Sin embargo, estoy confundido con las integrales dobles porque me han dicho que mediante el cálculo de una integral doble de una función, se trata de calcular el volumen bajo la curva de la función. Tiene sentido para mí, pero he visto algunos ejemplos en los que mi maestro calcula el área entre una o más funciones mediante una integral doble.

Otra cosa que no entiendo es que si yo soy el cálculo de la integral doble de una función dentro de un dominio dado de lo que realmente soy el cálculo? Por ejemplo, si yo soy el cálculo de $\iint_{D}\sin (y^{3})\text{dx dy}$ en el siguiente dominio:

donde$y=\sqrt{x}$$x\in [0,1]$. Lo que le integral que me dan?

En relación a eso, si yo simplemente calcular el $\iint_{D}dxdy$, ¿cómo va a hacer una diferencia? Voy a calcular el área total de la D?

Y mi última pregunta tiene que ver con la fórmula (1). Como dije anteriormente, a veces mi profesor utiliza las integrales dobles para calcular el área entre dos funciones. Entonces, no necesito usar la fórmula (1)? Acaso están equivalente? Por ejemplo, dado el dominio:

$$D=\left \{ (x,y)\in \mathbb{R}^{2}:(y-x^{2}-1)(y-2x^{3})<0,x\in[0,2] \right \}$$

Para calcular su área, ella iba a dividir el problema en las integrales dobles, uno para $y-x^{2}-1=0$ y otro para $y-2x^{3}=0$, y encontrar los puntos donde se intersectan:

Como este:

$$\iint_{D}dxdy = \iint_{D_{1}}dxdy + \iint_{D_{2}}dxdy$$

No puedo usar mi fórmula (1) en este caso?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Por una integral doble en el formulario

$$\iint_{D}f(x,y)dxdy$$

estamos evaluando la (firmado) volumen entre la función de $z=f(x,y)$ y el plano x-y.

Entonces por la siguiente integral doble

$$\iint_{D}1\cdot dxdy$$

estamos evaluando el volumen de un cilindro con base en el dominio $D$ y la altura de la $1$ que corresponden (numéricamente) para el área del dominio $D$.

Para la última pregunta, sí, la integral es aditivo, por lo tanto, podemos dividir a su

$$\iint_{D}dxdy = \iint_{D_{1}}dxdy + \iint_{D_{2}}dxdy$$

y también podemos usar (1) la división de la integral en consecuencia.

Answer 2

El área de $D$ pueden ser calculados por ambos $\iint_D dx dy$ y $\int_0^1 (1-\sqrt{x}) dx$.

La forma en que me gusta pensar es en términos de "análisis dimensional". En la integral doble, está integrando $1$ a través del dominio de $D$, por lo que le da el área de la $D$. En esencia, ese $dx dy$ poco le dice que usted es la integración de dos dimensiones, un poco como la multiplicación de dos dimensiones. Por lo que da un área. Del mismo modo, usted tiene la altura de $(1-\sqrt{x})$ para una determinada longitud infinitesimal $dx$. Cuando se multiplica y se suman, se obtiene un área, porque los tiempos de la longitud de un ancho de un área.

Otra forma me gusta pensar acerca de esto es pensando en poner poco de espagueti cadenas de $dx$ o $dy$. Si se hace de la "doble-integral", usted está de pie espaguetis hebras de tamaño $1$ en cada uno de los diminutos $dxdy$ plaza. El volumen resultante es el área de $D$ 1 "espaguetis a la altura". Para el solo integral, se establecen los espaguetis de longitud $(1- \sqrt{x_0})$$x = x_0$, haciendo que cada parte de la $D$. La zona es el área de $D$.

Por lo tanto, son dos diferentes integrales, con dos interpretaciones distintas. La manera en la que quiere representar que depende en gran medida el problema que estamos tratando de resolver, las técnicas que usted sabe, y cómo se quiere comunicar sus resultados.

EDIT: el Uso de los espaguetis método, imaginar espaguetis de altura $\sin(y^3)$ por cada plaza, por lo que sería $y$-dependiente. Usted puede sorta ver el ondulado-dad de la onda seno difieren con $y$. Usted necesita para calcular $\iint_D \sin(y^3) dy dx$, which is different from $\iint_D dy dx =$ area of $D$. You can use equations as your endpoints; I usually set it up like $$\int_0^1\int_{1-\sqrt{x}}^1 \sin(y^3) dy dx$$ y, a continuación, voy a resolver dentro-fuera.