- Deje $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ser una función que es continua por la derecha; es decir, para todos los $a \in \mathbb{R}$,
$\lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a)$
a) Mostrar que $f$ es continua cuando se ve como una función de $\mathbb{R}$ con el límite inferior de la topología de a $\mathbb{R}$ con la métrica de la topología.
b) Describir el conjunto de funciones de $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que son continuas cuando el dominio se da la métrica de la topología y el codominio es dado el límite inferior de la topología.
Lo estoy pensando:
Desde $f$ es de la derecha continua en $a$:
$\forall \epsilon >0$ $\exists \delta >0$ tal que $\forall x$$a < x < a +\delta$$|f(x) - f(p)| < \epsilon$. Así que para cualquier abierto barrio de $U$$f(a)$, nos han abierto un vecindario $V$$a$, de modo que $f(V) \subseteq U$. Por lo tanto $f: (\mathbb{R},\mathcal{T}_1)\rightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{T}_2)$ que va desde el límite inferior de la topología para la métrica toplogy.
No estoy seguro de que este responde a la pregunta en su totalidad y no estoy seguro si estoy en lo cierto.
Y para la parte B, sólo estoy realmente confundido, creo que tengo una idea, pero estoy bastante seguro de que estoy equivocado, por lo que cualquier ayuda es muy apreciada.
