Mostrar que g es integrable y $\int^b_a{f}$ = $\int^b_a{g}$

Question

Deje $f$ ser integrable en $[a,b]$, y supongamos que g es una función en $[a,b]$ tal que $g$($x$) = $f$($x$) excepto para un número finito de $x$$[a,b]$. Espectáculo $g$ es integrable y $\int^b_a{f}$ = $\int^b_a{g}$. Yo comencé en la solución de este problema al permitir que una función $h = f - g$ tal que $h(x) = 0$ espera en un punto de [a,b]. Desde $f$ es integrable, entonces existe una partición P tal que $U(f,P)-L(f,P)$ < $\epsilon$. No estoy realmente seguro de cómo proceder a partir de aquí. Cualquier sugerencias y ayuda se agradece mucho.

Answer 1

Primero de todos usted puede probar el resultado para el caso en que hay un único punto de decir $c$ donde f y g tienen diferentes valores.

Tenga en cuenta que en caso de que por cualquier partición de [a,b] la diferencia entre la Suma de Riemman $f$ y la Suma de Riemman para $g$ es en la mayoría de los $$|f(c)-g(c)|\times \delta$$ where $\delta$ es la longitud máxima de su subpartition intervalos.

Ahora que usted elija una partición tal que $$\delta <\frac {\epsilon}{|f(c)-g(c)|}$$

El resto es fácil de completar.

Answer 2

Poner $h (x)=f (x)-g (x)$ y vamos a demostrar que $h$ es integrable en $[a,b]$

Suponga que $$\forall x\in (a,b] \; h (x)=0$$ and $$h (a)=c>0.$$

Deje $\epsilon>0$ lo suficientemente pequeños dados. $h$ es continua en a $[a+\frac {\epsilon}{2c},b]$ y, a continuación, integrable.

existe una partición de $\sigma_1$ $[a+\frac {\epsilon}{2c},b]$ tal que

$$U (h,\sigma_1)-L (h,\sigma_1)<\frac {\epsilon}{2}$$

pon ahora $$\sigma=\sigma_1\cup \{0\}$$

$\sigma$ es una partición de a $[a,b]$

ahora $$U (h,\sigma)-L (h,\sigma)=$$ $$U (h,\sigma_1)-L (h,\sigma_1)+c\frac {\epsilon}{2c} <\epsilon.$$ Esto demuestra que $h$ es integrable en $[a,b]$.

$g=f-h$ es integrable desde $f$ $h$ son integrables en $[a,b]$.

Answer 3

Asumiendo $f\ne g$, de modo que $S=\{x: f(x)\ne g(x)\}$ es finito y no vacío. Deje $M=\max \{|f(x)-g(x)|:x\in S\}.$ Deje $|S|$ el número de miembros de $S.$

Para una partición $P$ deje $\|P\|$ ser la longitud de la mayor intervalo pertenecientes a $P$. Para cualquier $\epsilon >0$ existe $\delta_{\epsilon}>0$ tal que $\forall P\;(\|P\|<\delta_{\epsilon} \implies U(f,P)-L(f,P)<\epsilon/2).$

Así que si $\|P\|< \delta_{\epsilon}\cdot \min (1, \epsilon(M|S|)^{-1}/2)$ $|U(f,P)-U(g,P)|<\epsilon$ $|L(f,P)-L(g,P)|<\epsilon.$

La idea es simplemente que, desde $S$ es finito, la contribución, ( a un número finito de la suma que se aproxima la integral de $f$ o de $g$ ), de los intervalos que contienen los miembros de $S,$ será insignificante si $\|P\|$ es lo suficientemente pequeño.