¿Por qué $\nabla$ comportarse como un miembro de $\mathbb{R}^3$ (vector euclidiano en el espacio 3d) en muchos casos?

Question

¿Hay alguna razón por la que $\vec{\nabla} = \left[\; \dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y}, \dfrac{\partial}{\partial z}\; \right]$ se comporta como un miembro de $\mathbb{R}^3$ (vector euclidiano en el espacio 3d) en tantos casos:

1. Productos de puntos y productos cruzados de $\vec{\nabla}$ con una función vectorial multivariable como $\vec{\nabla} \cdot \mathbf{\vec{f}}$ y $\vec{\nabla} \times \mathbf{\vec{f}}$ o con funciones escalares (gradiente) son vectores (es decir, independientes de la elección particular de las coordenadas).

2. Propiedades como la La fórmula de Lagrange que son válidos para los vectores tienen análogos directos que involucran a los $\vec{ \nabla}$ operador.

3. Podemos escribir pseudodeterminantes para los rizos de la misma manera que podríamos hacerlo con las componentes de los vectores.

4. La mayoría de sus propiedades vectoriales se mantienen si $\vec{\nabla}$ se sustituye por cualquier otro vector.

Habrá pruebas separadas para todas estas propiedades. Pero, ¿hay alguna razón subyacente que sirva para todas esas propiedades? ¿Existe una razón fundamental por la que $\vec{\nabla}$ es $\mathbb{R}^3$ vectorial ?

Answer 1

El operador de gradiente actúa sobre una función escalar diferenciable $f(\vec x)$ , donde $\vec x \in \mathbb R^n$ y devuelve un vector:

$$\text{grad} \ f(\vec x) = \nabla f(\vec x) \equiv \sum_{i=1}^n \frac{\partial f (\vec x)}{\partial x_i} \vec e_i $$

donde $\{\vec e_i \dots\vec e_n\}$ es una base ortogonal de $\mathbb R^n$ .

El operador de divergencia actúa sobre un campo vectorial $\vec F(\vec x)$ , donde $\vec x,\vec F \in \mathbb R^n$ y devuelve una función escalar:

$$\text{div} \ \vec F(\vec x) = \nabla \cdot \vec F(\vec x) \equiv \sum_{i=1}^n \frac{\partial F_i (\vec x)}{\partial x_i} $$

El operador de rizo actúa sobre un campo vectorial $\vec F(\vec x)$ , donde $\vec x,\vec F \in \mathbb R^3$ y devuelve un campo vectorial:

$$\text{curl} \ \vec F(\vec x) = \nabla \times \vec F(\vec x) = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \hat i+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \hat j+ \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \hat k$$

donde $\hat i, \hat j, \hat k$ son los vectores unitarios de los tres ejes cartesianos.

Obsérvese que, a diferencia del gradiente y la divergencia, el operador de rizo no se generaliza simplemente en $n$ dimensiones. Además, la notación $\nabla \times \vec F$ es sólo un recurso mnemotécnico útil cuando trabajamos en coordenadas cartesianas: en otros sistemas de coordenadas, aplicar $\nabla \times \vec F$ tendrá un resultado erróneo.

Probablemente también deberíamos mencionar el operador laplaciano que es la divergencia del gradiente:

$$\nabla^2 f(\vec x) \equiv \text{div} \ (\text{grad} \ f(\vec x)) = \nabla \cdot (\nabla f(\vec x))$$

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Así que, para resumir, $\nabla$ es sólo una notación útil que se utiliza en la representación de tres operadores vectoriales diferentes. Resulta que a menudo podemos manipular formalmente $\nabla$ como si fuera un vector, pero no es un vector en el sentido habitual: $\nabla$ por sí sola no tiene sentido.

Para ver esto, basta con considerar una de las propiedades fundamentales de los espacios vectoriales: si $v,w$ son elementos del espacio vectorial $V$ entonces $v+w$ también es un elemento de $V$ .

Consideremos el espacio vectorial $\mathbb R^n$ ¿Qué significado debemos dar a una expresión como

$$\nabla + \vec x \ ?$$

la respuesta es: no tiene ningún sentido porque $\nabla$ no es un vector.

Answer 2

$$\vec{\nabla} = \left[\; \dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y}, \dfrac{\partial}{\partial z}\; \right]$$ se comporta como un vector porque $$\vec{\nabla}f $$ es un vector.

El espacio vectorial en el que se define no es el habitual $ \mathbb R^n$

Es un operador lineal que opera sobre funciones y el resultado es un vector cuyas componentes son derivadas parciales de la función.