Polinomios - Demostrar que la función sólo puede ser el polinomio de

Question

Supongamos que existe una función de $f : \mathbb R \to \mathbb R$ tal que $f(x)\cdot f'(x)$ es polinomial. es trivial que si $f(x)$ es polinomial, entonces $f(x)\cdot f'(x)$ es polinomial.

Mi pregunta es: ¿cómo se podía demostrar que $f(x)$ puede ser sólo polinomio?

Answer 1

No es cierto en general que $f$ debe ser un polinomio, por ejemplo, tomar $\,f(x) = \sqrt{x^2+1}\,$. Lo que es cierto, sin embargo, es que el $f^2$ debe ser un polinomio. Sugerencia: $f \cdot f' = \frac{1}{2}\left(f^2\right)'$.