La pregunta con la prueba de la irracionalidad de la $\sqrt{2}$

Question

He visto a un famoso "una línea" prueba de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos, que yo no entiendo en absoluto.

Se dice que si $\sqrt{2}=\frac{m}n$ en términos mínimos, $\sqrt{2}=\frac{2n-m}{m-n}$ en inferiores condiciones.

Tengo un par de preguntas acerca de esto - lo que es más fundamental, ¿cómo llega uno a partir de la primera expresión a la otra? No parece ser un trivial manipulación algebraica, al menos no que yo veo. En segundo lugar, ¿cómo podemos saber que $m-n$ es menor que $n$?

Answer 1

$$\sqrt{2} = \frac{m}{n} = \frac{m(\sqrt{2} - 1)}{n(\sqrt{2} - 1)} = \frac{n\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{n(\sqrt{2} - 1)} = \frac{2n - n\sqrt{2}}{n\sqrt{2} - n}= \frac{2n-m}{m-n}$$

Para la segunda pregunta:

$m-n$ es menor que $n$, porque sabemos que $\sqrt{2}$ está en algún lugar entre el$1$$2$, y por lo tanto $1 < m < 2n$, lo que significa que $0 < m-n < n$, lo $m-n$ es menor que $n$ (pero aún positivo).

Por cierto, ¿entiende usted que la prueba como un todo es una prueba por infinito descenso?

Answer 2

\begin{align}\frac mn=\frac{2n-m}{m-n}&\iff m^2-mn=2n^2-mn\\&\iff\frac{m^2}{n^2}=2,\end{align}, lo cual es cierto.

Por otro lado, $m-n<n\iff m<2n\iff m^2<4n^2$, lo cual es cierto, ya que la $m^2=2n^2$.

Answer 3

Si $m=\sqrt2 n$,$(\sqrt2-1)m=2n-m$$(\sqrt2-1)n=m-n$. Básicamente, se multiplica el numerador y el denominador por $\sqrt2-1$. Este multiplicador es en el intervalo de $(0,1)$, por lo tanto el numerador y el denominador se hacen más pequeñas.

Answer 4

De esta manera es un poco diferente y más largo de lo sugerido, pero creo que esto es muy interesante y vale la pena publicar:

Digamos que tenemos un triángulo, con $90^\circ$ deg y $2$ lados con longitud de $n'$ y con la longitud de la hipotenusa $m'$.

Por el teorema de Pitágoras $2n'^2=m'^2\implies\sqrt2=\frac{m'}{n'}$. Supongamos que existe un número, decir $x$, de tal manera que exista $m,n\in\Bbb N$$xm=m',xn=n'$, por lo que nos quedamos con $\sqrt{2}=\frac m{n}$.

En esta parte, todo lo que hice es que supuse que tanto $m',n'$ son racionales:

si $m'=a/b,\,n'=c/d$ $x=\frac1{bd}$ conseguir $m'=xad=xm,\,n'=xcb=xn$

Podemos ver claramente que $n<m<2n$

Ahora echemos un punto en $xm$ $xn$ distancia de la parte superior de la esquina:

Vamos a tomar una línea desde ese punto en el que es perpendicular a $xm$ a crear triángulos semejantes(he añadido la longitud de los lados del triángulo similar):

Debido a que el $2$ los triángulos son semejantes, la relación entre los lados debe ser constante por lo $\sqrt2=\frac{m}{n}=\frac{2n-m}{m-n}$ por supuesto $m,\,n$ son enteros positivos por lo $2n-m<m$ $m-n<n$ también enteros positivos(que son positivas porque de la primera desigualdad:$n<m<2n$). Me puede repetir este proceso para los más pequeños de triángulo, y luego el más pequeño triángulo desde el más pequeño triángulo y así sucesivamente, hasta que $n$ será igual a $1$ y luego me sale contradicción.