¿Existe un conjunto que contiene infinitos elementos, cuyos elementos en sí, son juegos que contiene infinitos elementos?

Question

¿Existe un conjunto que contiene infinitos elementos, cuyos elementos en sí, son juegos que contiene infinitos elementos?

Creo que la respuesta es no, no es una famosa paradoja para él, pero me estoy olvidando.

Answer 1

Hay muchos juegos con esta propiedad. Un ejemplo es $A=\{S\subseteq\mathbb{N}\mid |S|=\infty\}$, es decir, el conjunto de los infinitos subconjuntos de los naturales.

Answer 2

No hay ninguna paradoja. De hecho, según la costumbre, los axiomas de la teoría de conjuntos (ZFC) hay un montón de estos conjuntos.

Lo que ZFC no permite son los conjuntos que se contienen a sí mismos, y de la paradoja de Russell (sospecho que esto podría ser lo que usted está vagamente recordar) muestra que no podemos tener simultáneamente conjunto básico de formación de axiomas y un conjunto de todos los conjuntos. Pero no hay ningún problema con infinito de conjuntos de conjuntos infinitos.

De hecho, según ZFC el "universo de los conjuntos" está construido en su totalidad a partir de conjuntos de conjuntos de ...! Específicamente, ZFC demuestra que cada conjunto de $x$ se produce en algún lugar en la "torre" de los conjuntos de $V_\alpha$, donde

• $V_0=\emptyset$

• $V_{\beta+1}=\mathcal{P}(V_\beta)$ (aquí "$\mathcal{P}(X)$" es el powerset de $X$), y

• $V_\alpha=\bigcup_{\beta<\alpha} V_\beta$ $\alpha$ un límite.

Aquí $\alpha$ es un ordinal. Si $\alpha$ es un ordinal finito, $V_\alpha$ será finito; pero una vez que entramos en el infinito de los números ordinales recibimos todo tipo de conjuntos infinitos, y el infinito de conjuntos de conjuntos infinitos, y etc. En realidad, esta "conjuntos de conjuntos de cosas", que puede sentirse paradójico a primera, es la forma de ZFC interpreta toda la matemática del universo!

Answer 3

Para cada una de las $i\in\mathbb{N}$,$S_i=\{i,i+1, i+2, \ldots\}$. Cada una de las $S_i$ es en sí mismo un subconjunto de a $\mathbb{N}$.

Luego, se definen $$S=\{S_1, S_2, S_3, \ldots\}$$

Ahora, $S$ es un conjunto con un número infinito de elementos, cada uno de los cuales es en sí mismo un conjunto con un número infinito de elementos.

Answer 4

Ejemplo:

$$S=\{n\mathbb{Z}\mid n\in \mathbb{Z}^+\}$$ where $n\mathbb{Z}=\{\dots,-2n,-n,0,n,2n,\dots\}$.

Answer 5

Cómo sobre un conjunto de todas las líneas en el plano, que son en sí mismos conjuntos de puntos?

O un conjunto de conjuntos de números naturales, mayor que en el número natural: $$\big\{\{1,2,3\dots\},\ \{2,3,4\dots\},\ \{3,4,5\dots\},\ \dots\big\}$$