Si $I_n = \{i \in \mathbb{N} : 1 \leq i \leq n\}$ e si $\mathcal{X}_n=\{(X_i,d_i) : i \in I_n\}$ es finito, de la familia de métricas espacios, sabemos que podemos hacer que su producto $X = \prod_{i \in I_n}X_i$ un espacio métrico mediante el establecimiento $d: X \times X \to \mathbb{R}$ a ser, simplemente, $d((p_1,\dots,p_n),(q_1,\dots,q_n))=|(d_1(p_1,q_1),\dots,d_n(p_n,q_n))|$ donde $|\cdot|$ es de alguna norma en $\mathbb{R}^n$ (he parecer este hecho en su mayoría con el $p$-norma).
Ahora, ¿qué pasa si hacemos lo siguiente. Deje $\Lambda$ ser arbitraria de indexación conjunto (puede ser incluso incontables), entonces tenemos una familia $\mathcal{X}_\Lambda = \{(X_\lambda, d_\lambda) : \lambda \in \Lambda\}$ de los espacios métricos. Definimos su producto:
$$X = \prod_{\lambda \in \Lambda}X_\lambda = \left\{f : \Lambda \to \bigcup_{\lambda \in \Lambda}X_\lambda : f(\lambda) \in X_\lambda, \forall \lambda \in \Lambda\right\},$$
es posible que, a continuación, para presentar una natural métrica en $X$ en términos de la métrica en cada una de las $X_\lambda$? En otras palabras: "es el producto arbitrario de espacios métricos un espacio métrico de nuevo?"
He parecer una pregunta similar aquí, pero creo que esta no es duplicado, ya que la pregunta era sobre los aspectos acerca de la categoría de espacios métricos.
Muchas gracias de antemano!
