La interpretación de suma con parte fraccionaria?

Question

Esta suma es obvio si k es par.

$$\sum_{n=1}^{k/2} f(n)$$

¿Cómo debe esta suma debe interpretarse si k es impar?

(actualización)

El contexto es decidir y escribir una prueba de la afirmación de que

$$\sum_{n=1}^{k} f(n)$$

y

$$\sum_{n=1}^{k/2} f(n) + \sum_{n=k/2}^{k} f(n)$$

son equivalentes las declaraciones. Por supuesto, incluso para los k, el significado es obvio. Sospecho que la prueba será "la prueba por casos", mostrando que sin embargo k/2 se interpreta, el hecho de que es el límite superior en el primer término y el límite inferior en el segundo plazo será equivalente a la primera ecuación.

Pero, quiero asegurarme de que entiendo lo que la normal (si cualquier) interpretación de k/2 en los límites para los no-incluso los valores de k.

Answer 1

La pregunta que se hacen es para nada trivial y va al núcleo de la matemática discreta, por lo tanto merecedores de algún espacio dedicado aquí: voy a tratar de resumir algunos de los principales puntos.
La interpretación usual de una suma es a través de indefinte suma.
Tener en cuenta que dada $f(n)$, sabemos que una de $F(n)$ tal que $$ f(n) = F(n + 1) - F(n) = \Delta _{\n} F(n) = \Delta _{\n} \left( {F(n) + c} \right) $$ A continuación, $F(n)$ es el "anti-delta" o "Discreto Primitivo" de $f(n)$ $$ F(n) + c = \Delta _{\n} ^{ - 1} f(n) = \sum\nolimits_ {\n} {f(n)} $$ donde $c$ es una constante.
Vamos a introducir esta definición específica de la suma de $$ \eqalign{ & \sum\nolimits_ {\k\, = \,m}^{\;n} {f(k)} \quad \left| {\;{\rm integer}\,n,m} \right.\quad = F\left( n \right) - F\left( m \right) = \cr & = \left\{ {\matriz{ {f(m) + f(m + 1) + \cdots + f(n - 1)} & {\left| {\;m < n} \right.} \cr 0 & {\left| {\;m = n} \right.} \cr { - \left( {f(n) + f(n + 1) + \cdots + f(m - 1)} \right)} & {\left| {\;n < m} \right.} \cr } } \right.\;\; = \cr & = \left\{ {\matriz{ {\sum\limits_{m\, \le \,k\, < \,n} {f(k)} = \sum\limits_{m\, \le \,k\, \le \,n - 1} {f(k)} } & {\left| {\;m < n} \right.} \cr 0 & {\left| {\;m = n} \right.} \cr { - \sum\limits_{n\, \le \,k\, < \,m} {f(k)} = - \sum\limits_{n\, \le \,k\, \le \,m - 1} {f(k)} } & {\left| {\;n < m} \right.} \cr } } \right.\;\; \cr} $$ y podemos ver que $$ \eqalign{ & \sum\nolimits_ {\k\, = \,m}^{\;n} {f(k)} = - \sum\nolimits_ {\k\, = \,n}^{\;m} {f(k)} = \cr & = \sum\nolimits_ {\k\, = \,m}^{\;q} {f(k)} + \sum\nolimits_ {\k\, = \,q}^{\;n} {f(k)} = \sum\nolimits_ {\k\, = \,q}^{\;n} {f(k)} - \sum\nolimits_ {\k\, = \,q}^{\;m} {f(k)} \quad \left| {\;{\rm integer}\,n,m,p} \right. \cr} $$ Por eso, $F(n)$ existe y se define, además de una constante, sobre la definición de dominio de $f(n)$.
Ahora, si el dominio de definición de $F$ se extiende a los reales, se trata de naturales para definir $$ \sum\nolimits_{k\, = \,m}^{\;x} de {f(k)} = F(x) - F(m) = \left( {F(x) + c(x)} \right) - \left( {F(m) + c(m)} \right) $$ donde, esta vez, ponemos a $c(x)$ ya que en realidad podría ser cualquier función periódica de $x$ periodo $1$.
Si $f$ también puede ser extendida a los reales, será $$ \sum\nolimits_{k\, = \,}^{\; x} de {f(k)} \quad \left| {\;\;a,x \in \;\;\mathbb{R}} \right.\quad = F(x) - F(a) $$ y $$ \sum\nolimits_{k\, = \,x}^{\;x + 1} {f(k)} = F(x + 1) - F(x) = \Delta _{\,x} F(x) = f(x) $$ Tomemos un ejemplo para fijar el concepto. $$ \begin{gathered} \sum\nolimits_{\,x} {\frac{1} {x}} \, = \psi \left( x \right) + c = \frac{{\Gamma '(x)}} {{\Gamma (x)}} + c\quad \Rightarrow \hfill \\ \Rightarrow \quad \sum\limits_{1\, \leqslant \,k\, \leqslant \,\,3/2} {\frac{1} {k}} = \sum\nolimits_{\,k\, = \,1}^{\;5/2} {\frac{1} {k}} = \psi \left( {5/2} \right) - \psi \left( 1 \right) = \frac{8} {3} - 2\ln (2) \hfill \\ \end{reunieron} $$ pero también podemos escribir legitimally $$ \sum\nolimits_{\,x} {\frac{1} {x}} \, = \psi \left( x \right) + \sin (2\pi x) $$ o $$ \sum\nolimits_{\,x} {\frac{1} {x}} \, = \psi \left( x \right) + \frac{1} {{1 + x - \left\lfloor x \right\rfloor }} $$ lo que implica que el valor que le dio a la suma anterior en realidad podría ser cualquier otra cosa, a menos estamos de acuerdo en excluir el componente periódico, y mantener sólo el "más suave" componente tal y como se hace normalmente.
Muchas de las funciones - pero no todos - admitir a un Discreto Primitivo, es decir, una función de $F(x)$ tal que $f(x)=F(x+1)-F(x)$ para todos los $x$ en la definición de dominio de $f$.
En conclusión, el estándar de la respuesta a su pregunta $$ \sum\limits_{1\, \leqslant \,k\, \leqslant \,n/2} {f(k)} = F(1 + n/2) - F(1) $$

Sobre una interfaz intuitiva blick en "¿qué es lo que el total de" tenemos que $$ \sum\nolimits_{k\, = \,m}^{\;x} de {f(k)} = \sum\nolimits_{k\, = \,m}^{\;\left\lfloor x \right\rfloor } {f(k)} + \sum\nolimits_{k\, = \,\left\lfloor x \right\rfloor }^{\;x} de {f(k)} = \sum\nolimits_{k\, = \,m}^{\;\left\lfloor x \right\rfloor } {f(k)} + \sum\nolimits_{k\, = \,0}^{\;\a la izquierda\{ x \right\}} {f(x + k)} $$ sin embargo, cuando los límites se $x$ $x+m$ obtenemos $$ \sum\nolimits_{k\, = \,x}^{\;x + m} {f(k)} = \sum\nolimits_{k\, = \,x}^{\;x + 1} {f(k)} + \cdots + \sum\nolimits_{k\, = \x + m - 1}^{\;x + m} {f(k)} = \sum\nolimits_{j\, = \,0}^{\;m} {f(x + j)} = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} { - \sum\limits_{m\, \leqslant \,j\, \leqslant \, - 1} {f(x + j)} = - \sum\limits_{0\, \leqslant \,l\, \leqslant \, - m - 1} {f(x - l + 1)} } & {m < 0} \\ 0 & {0 = m} \\ {\sum\limits_{0\, \leqslant \,j\, \leqslant \,m - 1} {f(x + j)} } & {0 < m} \\ \end{array} } \right. $$ Si $f(x)$ es "summable en el derecho", es decir, si existe y es finito para todas las $x$ en el dominio de $f$ el siguiente límite $$ \mathop {\lim }\limits_{m\; \\; \infty } \sum\nolimits_{k\, = \,x}^{\;m} {f(k)} = \sum\nolimits_{k\, = \,x}^{\;\infty } {f(k)} = \sum\limits_{0\, \leqslant \,j\, < \infty } {f(x + j)} $$ entonces podemos escribir $$ \begin{gathered} \sum\nolimits_{k\, = \,m}^{\;x} {f(k)} = \sum\nolimits_{k\, = \,m}^{\;\infty } {f(k)} - \sum\nolimits_{k\, = \,x}^{\;\infty } {f(k)} = \sum\nolimits_{j\, = \,0}^{\;\infty } {f(m + j)} - \sum\nolimits_{j\, = \,0}^{\;\infty } {f(x + j)} = \hfill \\ = \sum\nolimits_{j\, = \,0}^{\;\infty } {\left( {f(m + j) - f(x + j)} \right)} \hfill \\ \end{reunieron} $$ que es la Mueller de la Fórmula. Va en un análogo manera si $f(x)$ es "summable a la izquierda", y que podemos resumir las conclusiones de los mismos como $$ \begin{gathered} F(x) + c = \sum\nolimits_{\,x} {f(x)} = \Delta _{\,x} ^{ - 1} f(x) = \hfill \\ = \sum\limits_{0\, \leqslant \,k} {f(x - (k + 1))} \quad \left| {\;f\;\text{summable}\,\text{left}} \right.\quad = \hfill \\ = - \sum\limits_{0\, \leqslant \,k} {f(x + k)} \quad \left| {\;f\;\text{summable}\,\text{right}} \right.\quad = \hfill \\ = \sum\nolimits_{\,k\, = \,0\;}^{\,\;\left\lfloor x \right\rfloor } {f(x - (k + 1))} \quad \; + \Delta _{\,x} ^{ - 1} f(\left\{ x \right\})\quad \left| {\;f\;\text{summable}\,\text{left}\,\text{and/or}\,\text{right}} \right.\quad = \hfill \\ = \sum\nolimits_{\,j\, = \,0\;}^{\,\;\left\lfloor x \right\rfloor } {f(\left\{ x \right\} + j)} \quad \;\;\quad + \Delta _{\,x} ^{ - 1} f(\left\{ x \right\})\quad \left| {\;f\;\text{summable}\,\text{left}\,\text{and/or}\,\text{right}} \right. \hfill \ \end{reunieron} $$ en el 3er = 4ª línea puede ser fácilmente derivados de la precedente. El plazo $\Delta _{\,x} ^{ - 1} f(\left\{ x \right\})$ es un período-1 función , que normalmente no tiene una sencilla forma cerrada y cual es la cancelación de un componente equivalente implícito en el primer término. Así que si se toma, deja un no-estándar $F(x)$.

Answer 2

He cambiado mi mente

$\sum_{i=0}^k \ne \sum_{i=0}^{k/2} + \sum_{i=k/2}^k$.

Si $k$ es el $k/2$ plazo se añade el doble de la suma en el lado derecho.

Si $k$ es impar, entonces el lado derecho de la segunda suma comienza en una fracción y cada término es una fracción.

Para corregir esto, el siguiente es siempre verdadera:

$\sum_{i=0}^k \ne \sum_{i=0}^{\lfloor k/2 \rfloor} + \sum_{\lfloor k/2 \rfloor + 1}^k$.

Que debe ser clara.

====un poco la respuesta es incorrecta abajo ====

tiene que ser acordado por la convención que el si $m \not \in \mathbb N$ $\sum_{i=0}^m$ medios. Como $i$ será nunca igual $m$.

Creo que es una norma de la convención que $\sum_{i=k}^m$ medio $\sum_{i \ge k;i++; i \le m}$. O en otras palabras $\sum_{i=k}^m$ = $\sum_{i=\lceil k \rceil}^{\lfloor m \rfloor}$

En realidad si $k$ es incluso lo que NO es cierto como $f(k/2)$ se añade dos veces. Si $k$ es impar ES cierto como lo $\sum_{i=0}^{k/2} = \sum_{i=0}^{\lfloor k/2 \rfloor}$$\sum_{i=k/2}^{k} = \sum_{i = \lceil k/2 \rceil}^{k}$. Si $k$ incluso $\lfloor k/2 \rfloor = \lceil k/2 \rceil$ y el plazo se cuenta dos veces. Si $k$ es extraño no lo es.

Así que la afirmación es verdadera si $k$ es IMPAR y es FALSA si $k$ es incluso.

Answer 3

En mi opinión, esta suma debe ser interpretado como inválida si $k$ es impar. Pero como los diversos comentaristas ya han señalado, el problema se omite bastante fácilmente por el uso de la función del suelo.

La convención notacional para las iteraciones como $$\sum_{n = \textrm{start}}^{\textrm{end}} f(n)$$ is that both $\textrm{inicio}$ and $\textrm{end}$ are integers, that the step is $1$ and that $\textrm{inicio} \leq \textrm{end}$.

What happens when you need a step other than $1$? You can do something like $$\sum_{n = \textrm{start}}^{\textrm{end}} f(10n)$$ or $$\sum_{n = \textrm{start}}^{\textrm{end}} f\left(\frac{n}{10}\right).$$

The reason I bring both of these up is that technically the step is $1$ even though in a computer program you might specifically write something like step = 10 or step = 0.1.

None of these options in mathematical notation explicitly allow for $\textrm{inicio}$ orr $\textrm{end}$ to be anything other than integers. To assume that non-integer values are implicitly allowed, or to assume that they will be interpreted in the same particular way that you intend them to be, is a needless sacrifice of clarity, in my opinion.

Just because a couple of people tell you that it's interpreted $\textrm{end} = \lfloor \frac{k}{2} \rfloor$ for one and $\textrm{inicio} = \lfloor \frac{k}{2} \rfloor + 1$ for the other does not guarantee that everyone will see it that way, at first anyway. In fact, one of the answerers seems to think that if $n = \frac{k}{2}$ is not an integer, then that is the starting value but the step is still $1$, e.g., $n$ takes on these values: $$\frac{k}{2}, \frac{k}{2} + 1, \frac{k}{2} + 2, \ldots, k - \frac{1}{2} \textrm{ or } k + \frac{1}{2}.$$ For example, if $k = 7$, would we have $\textrm{end} = 6.5$ or $\textrm{end} = 7.5$?

Podemos, sin duda, discutir y argumentar que una elección es más válida que la otra, pero ¿te importa más el derecho de estar en este tema o qué le preocupa más acerca de cómo obtener su punto a través de? Hay mucho potencial para la ambigüedad, y todo puede evitarse por el simple uso del suelo o en el techo de la función según sea necesario.