Ecuación de Schroedinger para el átomo de hidrógeno

Question

Tengo un problema en entender el significado del operador de Laplace de la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno.

$$\Big(-\frac{\hbar^2}{2m_e} \Delta_{r_e} - \frac{\hbar^2}{2M_P} \Delta_{r_p} +V(r) \Big)\Psi(r_e,r_p) = E \Psi(r_e,r_p)$$

¿Qué significa exactamente esta $\Delta_{r_e}$ significa? Sólo sé $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$. Así que soy una especie de confusión por el índice de la $\Delta$. Y ¿qué $\Psi(r_e,r_p)$?

Una vez que el baricentro y coordenadas relativas introducidas (no estoy seguro si esta traducción es correcta) la ecuación de Schrödinger se escribe como:

$$\Big(-\frac{\hbar^2}{2(m_e+M_p)} \Delta_{_{R}} - \frac{\hbar^2}{2\mu} \Delta_{r} +V(r) \Big)\Psi(r,R) = E \Psi(r,R)$$ Con: $$R=\frac{m_e \overrightarrow{r_e} + M_e \overrightarrow{r_p}}{m_e + M_p}$$ $$\mu = \frac{m_eM_p}{m_e+M_p}$$

Mismo problema, ¿qué tiene esto $\Delta_{_{R}}$ significa exactamente, y lo que hace el$\Psi(r,R)$? Y ¿qué pasa si utilizo $\Delta_{_{R}}$$\Psi(r,R)$?

Answer 1

¿Qué hace exactamente $\Delta_{r_e}$ significa ?

Su función de onda no es un campo en el espacio, es un campo en el espacio de configuración, es decir, que se asigna de los números complejos para una configuración. Si el electrón se encuentra en $(x_e,y_e,z_e)$ y que el protón es en $(x_p,y_p,z_p)$ a continuación, la configuración es el punto de $(x_e,y_e,z_e,x_p,y_p,z_p)$ en una 6d espacio. Un punto en el que la 6d espacio le dice a usted donde las partículas son, nos dice que la configuración.

Así que, ya que es una 6d espacio hay seis direcciones que puede tomar derivados en: $\partial/\partial x_e,$ $\partial/\partial y_e,$ $\partial/\partial z_e,$ $\partial/\partial x_p$ $\partial/\partial y_p,$ y $\partial/\partial z_p.$

$\Delta_{r_e}$ es igual a $$ \frac{\partial^2}{\partial x_e^2}+\frac{\partial^2}{\partial y_e^2}+\frac{\partial^2}{\partial z_e^2}.$$

Del mismo modo $$\Delta_{r_p}=\frac{\partial^2}{\partial x_p^2}+\frac{\partial^2}{\partial y_p^2}+\frac{\partial^2}{\partial z_p^2}.$$

Para cada uno de los derivados en sólo tres de las seis direcciones.

Si el interruptor de coordenadas (como a $\vec r,$ $\vec R$ a continuación, usted todavía tiene seis coordenadas debido a que todavía es una de las seis dimensiones de espacio y se puede dividirlos en dos grupos de tres y se toma el Laplaciano de cada grupo.

Lo que hace el$\Psi(\vec r,\vec R)$? Separación de variables dar una partícula libre en $R$ y regular de un átomo de hidrógeno en solución (con reducción de la masa) en $r$. Así, por ejemplo, si hay una onda plana de fijo impulso para la partícula libre $e^{i\vec P \cdot \vec R}$ y un deje $\Phi_n(\vec r)$ ser una energía eigenstate del átomo de hidrógeno (con reducción de la masa). A continuación, podemos considerar $\Psi(\vec r, \vec R)=e^{i\vec P \cdot \vec R}\Phi_n(\vec r).$

¿Qué $\Psi(r_e,r_p)$?

$\Psi(r_e,r_p)=e^{i\vec P \cdot (m_e\vec r_e+M_p\vec r_p)/(m_e+M_p)}\Phi_n(\vec x_e-\vec x_p).$

Si usted quiere ser normalizable usted necesita tomar combinaciones con diferentes $\vec P$ para obtener un paquete de ondas de movimiento para el centro de masa.

Answer 2

El índice del Laplaciano le dice que de las coordenadas en que actúa, es decir, si usted escribe $r = (r_x,r_y,r_z)^T$ $R = (R_x,R_y,R_z)^T$ coordenadas Cartesianas, a continuación, \begin{align} \Delta_r & := \frac{\partial^2}{\partial {r_x}^2} + \frac{\partial^2}{\partial {r_y}^2} + \frac{\partial^2}{\partial {r_z}^2} \\ \Delta_R & := \frac{\partial^2}{\partial {R_x}^2} + \frac{\partial^2}{\partial {R_y}^2} + \frac{\partial^2}{\partial {R_z}^2} \end{align}