¿Cómo esta la prueba de la densidad de $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$ requiere $a \geq 0$?

Question

Mi Verdadero Análisis del texto que ofrece la siguiente prueba de la "dados dos números reales a y b, con a $a < b$, existe un número racional r estrictamente entre los dos", con la condición de $0 \leq a < b$. También dice que el caso de $a < 0$ sigue fácilmente de esta prueba después de un pequeño reordenamiento. Mi problema es que no veo donde $a \geq 0$ entra en juego en esta prueba, como yo no puede encontrar donde cualquiera de la prueba de los argumentos depende de un signo. Aquí está la prueba:

Necesitamos producir m, n $\in \mathbb{N}$ tal que $a < \frac{m}{n} < b$.

Por Arquímedes Propiedad sabemos que existe $n$ tal que $\frac{1}{n}<b-a$.

Proceder a $na < m < nb$. Ahora debemos elegir un m de modo que es el menor número natural mayor que na; en otras palabras $m-1 \leq na < m$. A partir de aquí obtenemos $m > na$, que es la mitad del camino. Volviendo a nuestro Arquímedes Propiedad de la ecuación, se puede volver a escribir como $a < b-\frac{1}{n}$, y por lo tanto escribir

$$m \leq na+1$$

$$< n(b-\frac{1}{n})+1$$

$$=nb.$$

Por lo tanto, las condiciones para la $a < \frac{m}{n} < b$ está satisfecho. Una vez más, no veo donde está la positividad juega un papel aquí. Gracias!!

Answer 1

(Conforme a lo solicitado, publicado como respuesta).

Por alguna razón, el autor quiere encontrar un racional positivo entre el $a$ $b$ (nota que él está buscando números naturales $n$ $m$ ); por supuesto, eso no sucederá en general. Técnicamente, porque él está requiriendo $m$ a ser un número natural (por lo tanto no negativo [o, posiblemente, positivo, dependiendo de si el autor de la versión de $\mathbb{N}$ incluye a $0$ o no]), puede ser imposible encontrar un número que satisface $m-1 \leq na \lt m$ (por ejemplo, si $na\lt -1$). Así que él está pidiendo que $a$ ser no negativo para asegurarse de que uno puede recoger $m$ no negativo que satisface la condición.

Dicho esto, no hay absolutamente ninguna necesidad de dividir el argumento como este. El mismo argumento funciona si tomamos $m$ a ser el único número entero tal que $m-1\leq na\lt m$. El argumento lleva a través de, a continuación, para producir un racional entre el$a$$b$, independientemente de los signos de $a$ e de $b$. Así que tienes razón en que la esencia de la discusión no requieren $a$ a ser no negativo, y un pequeño ajuste para que el argumento podría eliminar la necesidad de que la suposición.

Answer 2

Comencemos desde el punto donde hemos establecido que $na < m < nb$. Vamos $$ S = \{k\in\mathbb{Z}: na < k < nb\}. $$ Desde $m\in S$, sabemos que $S$ es no vacío. Desde $a\ge 0$, sabemos que $S\subset \mathbb{N}$. Por lo tanto, por el principio de orden (cada conjunto no vacío de enteros positivos tiene un elemento más pequeño), sabemos que $S$ tiene un menor elemento. Llamarlo $m_0$.

Desde $m_0\in S$, sabemos que $na < m_0 < nb$. Pero desde $m_0$ es el elemento más pequeño en $S$, sabemos que $m_0-1\notin S$, y esto implica $m_0-1\le na$. Por lo tanto, $m_0-1\le na<m_0$, y podemos continuar con el resto de la prueba.

Me imagino que esto es lo que el autor(s), significó.