$\frac{1}{N} | \int_1^N e^{2 \pi i b \log x }dx |\rightarrow \frac{1}{ \sqrt{1 + 4\pi ^2 b^2} } $ $N \rightarrow \infty$

Question

Quiero mostrar que $$\frac{1}{N} \left| \int_1^N e^{2 \pi i b \log x }dx \right| \rightarrow \frac{1}{ \sqrt{1 + 4\pi ^2 b^2} } $$ como $N \rightarrow \infty$. Esto lo he hecho:

En primer lugar hacer una sustitución de $u = \log x$ obtener $$ \int_1^N e^{2 \pi i b \log x }dx = \int_0^{ \log N} e^{(1+ 2 \pi i b ) u }du .$$ Entonces $$\int_0^{ \log N} e^{(1+ 2 \pi i b ) u }du = \frac{ e^{(1+ 2 \pi i b ) \log N } -1 }{ 1+ 2 \pi i b} = \frac{ N e^{2 \pi i b \log N } -1 }{ 1+ 2 \pi i b}. $$

Así $$\frac{1}{N} \int_1^N e^{2 \pi i b \log x }dx = \frac{ e^{2 \pi i b \log N } }{ 1+ 2 \pi i b}- \frac{ 1 }{ N(1+ 2 \pi i b)}. $$

El segundo término tiende a cero, pero no estoy seguro de cómo proceder con el primer término.

EDITAR: Así que mi pregunta es ¿cómo hace uno para evaluar el límite de $$ \lim_{N \rightarrow \infty} N^{2 \pi i b } $$

Answer 1

La solución es sencilla. Observe que $$e^{2\pi i b\log x}= x^{2\pi i b}$$

Entonces la integral es $$\frac{1}{N}\left|\int_1^N x^{2\pi i b} \rm{d}x\right|=\frac{1}{N}\left|\frac{N^{2\pi i b+1}-1}{2\pi i b +1} \right|=\frac{1}{|1+2\pi i b|}\left|N^{2\pi i b}-\frac{1}{N}\right|=$$ $$=\frac{1}{\sqrt{1+4\pi^2b^2}}\left|N^{2\pi i b}-\frac{1}{N}\right|$$

Tomando el límite $$\lim_{N\to\infty}\left|N^{2\pi i b}-\frac{1}{N}\right|=\lim_{N\to\infty}\sqrt{1-\frac{2\cos(2\pi b \log N)}{N}+\frac{1}{N^2}}=1.$$