¿Qué es esta notación? Cíclico grupo $\mathbb{Z}^*_8$

Question

$\mathbb{Z}^*_8$

Como yo lo entiendo - $\mathbb{Z}_8$ es el grupo de los enteros bajo la adición módulo 8.

Así żestoy en lo cierto al pensar que sus elementos son: $\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$?

Pensé que el $*$ significaba excluyendo el cero, por lo que yo estaba confundido a aprender que los elementos de la $\mathbb{Z}^*_8$ aparentemente: $\{1,3,5,7\}$ - falta $2$, $4$ y $6$.

La única respuesta posible que se me ocurre es que debido a que <1>,<3>,<5> y <7> puede generar todo el grupo - $2$, $4$ y $6$ se omiten de $\mathbb{Z}_8$ en el primer lugar, lo que significa $*$ no acaba de quitar el cero como yo pensaba.

Puede alguien explicar esto a mí como las notas que estoy usando no están ayudando!

Answer 1

$\mathbb{Z_8}^*$ denota el grupo multiplicativo de a $\mathbb{Z_8}$ como Marca Bennet ha dicho.

Se puede demostrar que los $x \in \mathbb{Z_n}$ tiene un inverso multiplicativo si y sólo si $(x,n)=1$. La prueba está basada en un caso especial del teorema de Bezout que los estados $(x,n)=1$ si y sólo si $\exists a,b \in \mathbb{Z}: ax+bn = 1$.

Si $(x,n)=1$,$\exists a,b: ax+bn=1$. Esto implica que $bn = 1-ax$ o $n \mid 1-ax$ que es el mismo que $ax \equiv 1 \pmod{n}$.

Por otro lado, si no existe $a \in \mathbb{Z_n}$ tal que $ax \equiv 1 \pmod{n}$$\exists b \in \mathbb{Z}: bn = 1 - ax$. Que le da a la inversa.

Así, la condición necesaria y suficiente para que un elemento en $\mathbb{Z_n}$ a sea invertible es que es relativamente primer a $n$.

Answer 2

Esta es una anotación dispositivo. El $^*$ se usa para mostrar que el grupo de operación de multiplicación, y los elementos del grupo son los elementos de $\mathbb Z_8$ cuales son coprime a $8$. La identidad es $1$.

Los enteros tomado modulo $n$ heredar tanto la adición y la multiplicación de $\mathbb Z$. Si usted toma los elementos coprime a $n$ usted obtiene un grupo multiplicativo de orden $\varphi (n)$ cuyos elementos satisfacen $$x^{\varphi(n)}=1$$Este es el de Euler-Fermat teorema, una generalización de Fermat Poco Teorema.