Que los Mapas son de Caja y Continua?

Question

El cuadro de la topología en el set $\mathbb R^\infty$ se define a tener sub-base de conjuntos de $U_1 \times U_2 \times \ldots$ por cada $U_i \subset \mathbb R$ abierto. Observar esto es diferente de la del producto de la topología de que también las demandas de todos, pero un número finito de $U_i = \mathbb R$.

El cuadro de topología es conocido por ser maleducado. Por ejemplo, la razonable-en busca de la función $x \mapsto (x,x,\ldots)$ no es continua cuando el codominio lleva el cuadro de topología. Por otro lado, las funciones como $x \mapsto (x,1,1,\ldots)$ son de hecho el cuadro de continuo.

Hay una sencilla regla para comprobar si cualquier función $F \colon \mathbb R\to \mathbb R^\infty$ es producto de continuo. Simplemente escriba $F(x) = (f_1(x),f_2(x),\ldots)$, a continuación, compruebe todas las $f_i \colon \mathbb R \to \mathbb R$ son continuas. Esta condición es necesaria y suficiente.

Hay una simple caracterización de exactamente qué funciones de caja y continua? A falta de tal caracterización, podría alguien darme una gran familia de caja de funciones continuas? Que la familia tiene al menos que incluyen todas las funciones como $G(x) =(g_1(x),g_2(x), \ldots, g_n(x), a_1,a_2,\ldots)$ $g_i\colon \mathbb R \to \mathbb R$ continuo y $a_i$ constantes.

Answer 1

Suponga que $f:X\to\mathbb{R}^\infty$ es continua con $X$ conectado.

Deje $\pi_i:\mathbb{R}^{\infty}\to\mathbb{R}$ ser la proyección en $i$-ésimo de coordinar y definir los $f_i=f\circ\pi_i$, es decir, $f_i$ $i$- ésima coordenada de la función $f$.

Como se puede leer , por ejemplo, aquí los componentes conectados de $\mathbb{R}^{\infty}$ se caracterizan por las siguientes propiedades: $(a_n)$ $(b_n)$ están en la misma componente conectado, si y sólo si $\{n\in\mathbb{N}\ |\ a_n\neq b_n\}$ es finito. En particular, desde la $X$ está conectado, a continuación, para cualquier $x,y\in X$ tenemos que $f(x)$ $f(y)$ difieren en a lo más un número finito de índices.

Así que una propiedad es: para cualquier $x,y\in X$ hay sólo un número finito de $i$ tal que $f_i(x)\neq f_i(y)$. Creo que a la inversa también se mantiene, es decir, si cada una de las $f_i$ es continua y para cualquier $x,y\in X$ tenemos $f_i(x)\neq f_i(y)$ en la mayoría de un número finito de $i$ $f$ es continua.

Tenga en cuenta que la propiedad no quiere decir que todos, pero un número finito de $f_i$ son constantes. El contraejemplo sería: tome $\{p_i:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\}$ a ser un infinito partición de la unidad con compact es compatible. A continuación, $x\to(p_1(x), p_2(x), p_3(x), \ldots)$ es continua. Y umbral se ajusta a la propiedad, de ninguna de las $x$ hay sólo un número finito de $i$$p_i(x)\neq 0$.

Esto también explica por qué la $x\mapsto(x,x,x,\ldots)$ no es continua.

Eso es todo lo que puedo ofrecerle.