¿Por qué estudiar Proper Maps?

Question

Invitamos al lector a recordar que un mapa adecuado $f: X \to Y$ entre espacios topológicos $X,Y$ es un mapa continuo tal que para todos los conjuntos compactos $K \subset Y$ , $f^{-1}(K) \subset X$ es compacto.

Los mapas holomorfos adecuados desempeñan un gran papel en la teoría de las funciones holomorfas de varias variables complejas, de las que estoy comenzando mis estudios.

Tengo curiosidad por saber por qué estudiamos estos mapas en particular. Conozco el teorema de los mapas adecuados, que afirma que la imagen de un espacio analítico bajo un mapa holomórfico adecuado es una subvariedad analítica del espacio analítico objetivo, pero no veo realmente la importancia de estos resultados.

Se agradece cualquier tipo de motivación o idea. Gracias.

Answer 1

Esta respuesta sólo aborda el aspecto (de topología general) de su pregunta.

La teoría topológica de los mapeos propios es muy rica y está llena de invariantes interesantes, el más simple de los cuales es el conjunto de extremos . Dada una variedad conectada $X$ (o más generalmente un espacio localmente compacto conectado), la colección de subconjuntos $U \subset X$ tal que $X-U$ es compacto forma un sistema inverso bajo inclusión, y el límite inverso de este conjunto es, por definición, el conjunto de extremos $\text{Ends}(X)$ . Esto define parte de un functor de la categoría de colectores conectados y mapas propios a la categoría de conjuntos y funciones: para cualquier mapa propio $f : X \to Y$ existe una función inducida $f_* : \text{Ends}(X) \to \text{Ends}(Y)$ .

Como aplicación, si $Y$ tiene más extremos que $X$ en el sentido de la cardinalidad, entonces no hay mapas propios suryectos de $X$ a $Y$ porque el mapa sobre los extremos inducido por un mapa propio suryectivo es también suryectivo, como se puede comprobar.

Uno puede generalizar los extremos a una colección más rica de invariantes en la categoría de mapas propios, a saber, el cohomología con soportes compactos $H^n_c(X;\mathbb{R})$ . Esto está relacionado con el número de extremos por el teorema de que el rango de $H^1_c(X;\mathbb{R})$ es igual a uno más el número de extremos (creo que lo tengo claro).

Answer 2

Esta es una idea intuitiva sobre mapas adecuados entre espacios métricos y es extensible a los espacios topológicos que admiten una Compactación Alexandroff satisfaciendo el axioma de separación de Hausdorff.

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Dejemos que $(X,d_1)$ y $(Y,d_2)$ sean espacios métricos, y que $f:X\to Y$ ; $f$ es continuo si y sólo si para cualquier secuencia convergente $\{x_n\in X\}_{n\in\mathbb{N}}$ , $\{f(x_n)\in Y\}_{n\in\mathbb{N}}$ es convergente.

En caso contrario, deja que $\{x_n\in X\}_{n\in\mathbb{N}}$ ser un secuencia de escape al infinito Es decir $$ \forall n\in\mathbb{N},\,\exists K_n\Subset X\mid\{x_1,...,x_n\}\subseteq K_n,\,\forall m>n,\,x_m\notin K_n. $$ Es fácil demostrar que $f$ es adecuado (como el OP ) si y sólo si para cualquier secuencia $\{x_n\in X\}_{n\in\mathbb{N}}$ escapa al infinito También $\{f(x_n)\in Y\}_{n\in\mathbb{N}}$ escapa al infinito .

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Un pequeño comentario : En la geometría algebraica, existe una noción de morfismo propio que es más complicado ya que se puede leer aquí .

Answer 3

Los mapas adecuados preservan la convexidad holomorfa. Es decir, si $D$ es holomórficamente convexo y $f$ es adecuado, entonces $f(D)$ es holomórficamente convexo.