Explicación de una deducción en "$L^{\infty}$ normas de holomorphic la cúspide de las formas"

Question

Estoy leyendo el artículo En $L^{\infty}$ normas de holomorphic la cúspide de las formas. Estoy particularmente interesado en los siguientes : No veo cómo podemos obtener a partir de $$ |y^k f(z)| \ll \frac{y^k k^\epsilon(4\pi)^{k-1/2}}{\sqrt{\Gamma(2k)}(2\pi y)^{k-1/2}}\sum_{n\ge 1}(2\pi ny)^{k-1/2+\epsilon}e^{-2\pi ny}$$ que : $|y^kf(z)|\ll k^{{1/4}+\epsilon}$ $y\gg k.$

Alguien puede aclarar a mí ?

Answer 1

En el artículo, el autor muestra cómo pasar de la suma en $$ |y^k f(z)| \ll \frac{y^k k^\epsilon(4\pi)^{k-1/2}}{\sqrt{\Gamma(2k)}(2\pi y)^{k-1/2}}\sum_{n\ge 1}(2\pi ny)^{k-1/2+\epsilon}e^{-2\pi ny} $$ para la ecuación integral en la imagen. Así que supongo que usted está teniendo problemas con la integral. Podemos hacer eso aquí. Puedo dejar a todos epsilons como son molestos y no importa para expresar cómo se ve esto.

Consideramos $$ \frac{y^{1/2} 2^k}{\sqrt{\Gamma(2k)}} \frac{1}{y} \int_0^\infty t^{k - \frac{1}{2}}e^{-t} dt = \frac{y^{1/2} 2^k}{\sqrt{\Gamma(2k)}} \frac{1}{y}\int_0^\infty t^{k + \frac{1}{2}}e^{-t} \frac{dt}{t} = \frac{y^{1/2} 2^k}{\sqrt{\Gamma(2k)}} \frac{1}{y}\Gamma(k + \tfrac{1}{2}). \tag{1}$$

Ahora nos hacen amplio uso de la aproximación de Stirling $$\Gamma(z) \sim \sqrt{\frac{2\pi}{z}} \left(\frac{z}{e}\right)^z.$$ A continuación, $(1)$ se convierte en $$ \begin{align} y^{-1/2} 2^k &\sqrt{\frac{2\pi}{k + \frac{1}{2}}} \left(\frac{k + \frac{1}{2}}{e}\right)^{k + \frac{1}{2}} \left( \sqrt{\frac{2k}{2\pi}} \left( \frac{e}{2k} \right)^{2k} \right)^{1/2} \\ &= y^{-1/2} 2^k (2\pi)^{1/4} \frac{(2k)^{1/4}}{(k + \frac{1}{2})^{1/2}}\left(\frac{k + \frac{1}{2}}{e}\right)^{k + \frac{1}{2}} \left( \frac{e}{2k} \right)^k \\ &= y^{-1/2} (2\pi)^{1/4} (2k)^{1/4} e^{-1/2} \left( \frac{k + \frac{1}{2}}{k}\right)^k. \tag{2} \end{align}$$ Nada de lujo sucedido en cualquier paso --- es sólo un montón de reordenamiento y simplificación. Observe que $$ \left( \frac{k+\frac{1}{2}}{k}\right)^k = \left( 1 + \frac{1}{2k} \right)^k \leq 2e^{-1/2}$$ (y es bien aproximada por $e^{-1/2}$ grandes $k$). A continuación, $(2)$ está delimitado por $$ y^{-1/2} (2\pi)^{1/4} (2k)^{1/4} 2 e^{-1} \ll \frac{k^{1/4}}{y^{1/2}}.$$

Como $y \gg k$, es claro que este término es en la mayoría de las $k^{1/4}$ como se reivindica.

El otro término de la aproximación de la suma es el primer sumando, dada por [de nuevo, dejando de lado todos epsilons] $$2^k (2\pi y)^k e^{-2\pi y} / \sqrt{\Gamma(2k)} = (4\pi y)^k e^{-2\pi y} / \sqrt{\Gamma(2k)}. \tag{3}$$ Como has incluido en tu pregunta, este es maximizada en $y = k/2\pi$. Por Stirling aproximación de nuevo, escribimos $$ \sqrt{\Gamma(2k)} \sim \left(\frac{2\pi}{2k}\right)^{1/4} \left(\frac{2k}{e} \right)^{k}. $$ El uso de este en $(3)$, y la sustitución de $y = k/2\pi$, tenemos $$(2k)^k e^{-k} \left( \frac{k}{\pi} \right)^{1/4} e^k (2k)^{-k} = \left( \frac{k}{\pi} \right)^{1/4}.$$

Esto completa la derivación.

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En resumen, el uso de Stirling aproximación en cada función gamma en la vista, y seguir con manipulaciones algebraicas.