$$\lim {n\to \infty }\sum {k=1}^n\sqrt{n^4+k} \cdot \sin \frac{2k\pi }{n}$$
Parece una suma de Riemann, pero no sé cómo abordarlo. Agradecería cualquier sugerencia. (Sin la extensión de Taylor)
EDIT: La respuesta es $- \frac{1}{4 \pi}$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Clement C.
Puntos
16603
No tengo tiempo para terminar de ahora, voy a dejar esto como Respuesta de la Comunidad, de modo que cualquier persona puede sentirse libre para editar; si nadie lo hace, voy a volver a ella más tarde.
La falta de homogeneidad entre las $n^4$ $k$ va a priori impide ver esto como una suma de Riemann: ya que no hay forma de masaje $\sqrt{n^4+k}$ con el fin de hacer un factor de $\sqrt{1+\frac{k}{n}}$ aparecen.
Sin embargo, lo que puede hacer es "adivinar y, a continuación, utilizar las desigualdades y el teorema del sándwich para demostrar la conjetura era correcta." Sé que usted no desea utilizar expansiones de Taylor, por lo que no (pero está oculto en el "adivinar" parte).
En primer lugar, la reescritura de $$ \sum_{k=1}^n \sqrt{n^4+k}\sin\frac{2\pi k}{n} = n^3 \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \sqrt{1+\frac{k}{n^4}}\sin\frac{2\pi k}{n} $$
Supongo que parte: Ahora, vamos a usar el hecho de que $$\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \lim_{x\to0} \frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{2}\tag{i}$$, so we expect $\sqrt{1+\frac{k}{n^4}}-1$ to "behave like $\frac{k}{2n^4}$" and (ii) $$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sin\frac{2\pi k}{n} \xrightarrow[n\to\infty]{} \int_0^1 \sin(2\pi x)\, dx = 0 \tag{ii}$$ (Suma de Riemann).
La combinación de los dos, es "razonable" esperar que $$\begin{align} n^3 \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \sqrt{1+\frac{k}{n^4}}\sin\frac{2\pi k}{n} &= n^3 \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left(\sqrt{1+\frac{k}{n^4}}-1\right)\sin\frac{2\pi k}{n} + n^3\cdot\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sin\frac{2\pi k}{n} \\ &\approx n^3 \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{k}{2n^4}\sin\frac{2\pi k}{n} + n^3\cdot\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sin\frac{2\pi k}{n} \\ &= \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n}\sin\frac{2\pi k}{n} + n^3\cdot\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sin\frac{2\pi k}{n} \\ &\xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{1}{2}\int_0^1 x\sin(2\pi x)\, dx+\frac{1}{2}\int_0^1 \sin(2\pi x)\, dx = \frac{1}{2}\int_0^1 x\sin(2\pi x)\, dx \\&= \boxed{-\frac{1}{4\pi}} \end{align}$$ Este es nuestro (muy handwavy) adivinar; vamos a demostrar.
Demostrar la conjetura:
