Deje $\chi_R(x)$ ser una función uniforme tal que $\chi_R(x)=1$ si $|x| \le R$, $\chi_R(x) = 0$ si $|x| \ge 2R$, e $0 \le \chi_R(x) \le 1$ todos los $x \in \mathbb R^3$.
¿Cómo podemos demostrar que $\chi_R(x) \nabla \frac 1{|x|} \in L^1(\mathbb R^3) \cap L^{3/2}(\mathbb R^3)$?
En particular, estoy atascado en el $\chi_R(x) \nabla \frac 1{|x|} \in L^{3/2}(\mathbb R^3)$ parte, tengo $$\int_{\mathbb R^n} \left|\chi_R(x) \nabla \frac 1{|x|}\right|^{3/2} dx \le \int_{B(0,2R)} \left|\nabla \frac 1{|x|}\right|^{3/2} dx = \int_{B(0,2R)}\frac 1{|x|^3} dx =\infty$$
así que me puse a$\infty$, pero obviamente estoy tratando de conseguir a menos de $\infty$. Creo que mi desigualdad podría ser demasiado crudo.
Edit: Este es el más preciso y el que me parece más plausible, pero todavía no estoy seguro de si esto responde a mi pregunta: $$\int_{\mathbb R^n} \left|\chi_R(x) \nabla \frac 1{|x|}\right|^{3/2} dx \color{red}{<} \int_{B(0,2R)} \left|\nabla \frac 1{|x|}\right|^{3/2} dx = \int_{B(0,2R)}\frac 1{|x|^3} dx =\infty$$ (Pensé que era de una desigualdad estricta debido a $\chi_R(x) < 1$ $|x|$ es lo suficientemente cerca como para $2R$. La ilusión, sin embargo: la primera integral es todavía igual a $\infty$.)