Cómo mostrar que $\chi_R(x) \nabla \frac 1{|x|} \in L^1(\mathbb R^3) \cap L^{3/2}(\mathbb R^3)$

Question

Deje $\chi_R(x)$ ser una función uniforme tal que $\chi_R(x)=1$ si $|x| \le R$, $\chi_R(x) = 0$ si $|x| \ge 2R$, e $0 \le \chi_R(x) \le 1$ todos los $x \in \mathbb R^3$.

¿Cómo podemos demostrar que $\chi_R(x) \nabla \frac 1{|x|} \in L^1(\mathbb R^3) \cap L^{3/2}(\mathbb R^3)$?

En particular, estoy atascado en el $\chi_R(x) \nabla \frac 1{|x|} \in L^{3/2}(\mathbb R^3)$ parte, tengo $$\int_{\mathbb R^n} \left|\chi_R(x) \nabla \frac 1{|x|}\right|^{3/2} dx \le \int_{B(0,2R)} \left|\nabla \frac 1{|x|}\right|^{3/2} dx = \int_{B(0,2R)}\frac 1{|x|^3} dx =\infty$$

así que me puse a$\infty$, pero obviamente estoy tratando de conseguir a menos de $\infty$. Creo que mi desigualdad podría ser demasiado crudo.

Edit: Este es el más preciso y el que me parece más plausible, pero todavía no estoy seguro de si esto responde a mi pregunta: $$\int_{\mathbb R^n} \left|\chi_R(x) \nabla \frac 1{|x|}\right|^{3/2} dx \color{red}{<} \int_{B(0,2R)} \left|\nabla \frac 1{|x|}\right|^{3/2} dx = \int_{B(0,2R)}\frac 1{|x|^3} dx =\infty$$ (Pensé que era de una desigualdad estricta debido a $\chi_R(x) < 1$ $|x|$ es lo suficientemente cerca como para $2R$. La ilusión, sin embargo: la primera integral es todavía igual a $\infty$.)

Answer 1

Su función es que no se en $L^{\frac 3 2} (\Bbb R^3)$!

Split $\Bbb R^3$ en tres regiones: $\Bbb R^3 = B(0,R) \cup \overline {B(0, 2R) \setminus B(0,R)} \cup (\Bbb R^3 \setminus B(0, 2R))$. Los dos primeros se cruzan sólo a lo largo de $|x| = R$, que es un insignificante conjunto, por lo tanto se puede descomponer a su integral en una suma de tres integrales correspondientes a la anterior unión.

El centro conjunto es cerrado y acotado, por lo tanto compacto. Desde $\left| \chi _R \nabla \frac 1 {|x|} \right| ^{\frac 3 2}$ es continua en él, también será integrable.

En el tercer set, $\chi _R$ es idéntica $0$, por lo que este es trivial.

Centrémonos, pues, en $\int \limits _{B(0,R)} \left| \chi _R \nabla \frac 1 {|x|} \right| ^{\frac 3 2} \ \Bbb d x$. La introducción de la taquigrafía $B = B(0,R)$ este es, de hecho, sólo

$$\int \limits _B \left| \nabla \frac 1 {|x|} \right| ^{\frac 3 2} \ \Bbb d x = \int \limits _B \left| - \frac {(x_1, x_2, x_3)} {|x|^3} \right| ^{\frac 3 2} \ \Bbb d x = \int \limits _B \frac {|x| ^{\frac 3 2}} {|x| ^{\frac 9 2}} \ \Bbb d x = \int \limits _B \frac 1 {|x| ^3} \ \Bbb d x .$$

El cambio a coordenadas polares

$$\begin{align} x_1 &= r \cos \beta \cos \alpha \\ x_2 &= r \cos \beta \sin \alpha \\ x_3 &= r \sin \beta \\ r &\in (0,R), \quad \alpha \in (0, 2\pi), \quad \beta \in \left( - \frac \pi 2, \frac \pi 2 \right) , \end{align}$$

la integral se convierte en

$$\int \limits _0 ^{2 \pi} \int \limits _{-\frac \pi 2} ^{\frac \pi 2} \int \limits _0 ^R \frac 1 {r^3} r^2 \cos \beta \ \Bbb d r \ \Bbb d \beta \ \Bbb d \alpha = 4 \pi \int \limits _0 ^R \frac 1 r \ \Bbb d r = \infty ,$$

por lo tanto, la integral en el primer conjunto es infinito, por lo tanto $\chi _R \nabla \frac 1 {|x|} \notin L^{\frac 3 2} (\Bbb R^3)$.

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De hecho, para ver cuáles son las $p \ge 1$$\chi _R \nabla \frac 1 {|x|} \in L^p (\Bbb R^3)$, rehacer todo lo anterior cambiando $\frac 3 2$ a $p$: la integral en el primer set, se convertirá en

$$\int \limits _B \frac 1 {|x| ^{2p}} \ \Bbb d x = 4 \pi \int \limits _0 ^R \frac 1 {r ^{2p-2}} \ \Bbb d r ,$$

y este es finita cuando $2p-2 < 1$, es decir, $p < \frac 3 2$ (humor, su problema se refiere, precisamente, el caso límite $p = \frac 3 2$).