Explícito fórmula de Fermat 4k+1 teorema de

Question

Deje $p$ ser un número primo de la forma $4k+1$. Teorema de Fermat afirma que $p$ es una suma de dos cuadrados, $p=x^2+y^2$.

Existen diferentes pruebas de esta afirmación (el descenso, los enteros de Gauss,...). Y recientemente he aprendido que hay es la siguiente fórmula explícita (debido a Gauss): $x=\frac12\binom{2k}k\pmod p$, $y=(2k)!x\pmod p$ ($|x|,|y|<p/2$). Pero cómo demostrarlo?

Observación. En otro hilo de Matt E también menciona una fórmula $$ x=\frac12\sum\limits_{t\in\mathbb F_p}\left(\frac{t^3-t}{p}\right). $$ Desde $\left(\dfrac{t^3-t}p\right)=\left(\dfrac{t-t^{-1}}p\right)=(t-t^{-1})^{2k}\mod p$ (e $\sum t^i=0$ al $0<i<p-1$), esto es, en realidad, la misma fórmula (signo).

Answer 1

Aquí es un de alto nivel de la prueba. Supongo que se puede hacer de una forma más primaria. El capítulo 3 de Silverman de la Aritmética de Curvas Elípticas es una buena referencia para que las ideas que estoy utilizando.

Deje $E$ ser la curva elíptica $y^2 = x^3+x$. Por un teorema de Weyl, el número de puntos en $E$ $\mathbb{F}_p$ $p- \alpha- \overline{\alpha}$ donde $\alpha$ es un entero algebraico satisfacer $\alpha \overline{\alpha} =p$, y el bar es compleja conjugación. (Si usted cuenta el punto en el $\infty$, entonces la fórmula debería ser $p - \alpha - \overline{\alpha} +1$.)

Deje $p \equiv 1 \mod 4$. Vamos a establecer dos principales reivindicaciones: Reivindicación 1: $\alpha$ es de la forma $a+bi$, para los números enteros $a$$b$, y la Reivindicación 2: $-2a \equiv \binom{(p-1)/2}{(p-1)/4} \mod p$. Por lo $a^2+b^2 = p$$a \equiv -\frac{1}{2} \binom{(p-1)/2}{(p-1)/4}$, como se desee.

La prueba de dibujo de la Reivindicación 1: Vamos a $R$ ser el endomorfismo anillo de $E$$\mathbb{F}_p$. Deje $j$ ser una raíz cuadrada de $-1$$\mathbb{F}_p$. Dos de los elementos de $R$$F: (x,y) \mapsto (x^p, y^p)$$J: (x,y) \mapsto (-x,jy)$.

Tenga en cuenta que $F$ $J$ conmutar; este utiliza ese $j^p = j$, lo cual es cierto porque $p \equiv 1 \mod 4$. Por lo $F$ $J$ generar un sub-anillo conmutativo de $R$. Si nos fijamos en la lista de posibles endomorfismo anillos de curvas elípticas, verás que un sub-anillo debe ser de rango $\leq 2$, e $J$ ya genera un sub-anillo de rango $2$. (Véase la sección 3.3 en Silverman.) Por lo $F$ es integral sobre la sub-anillo generado por $J$. Ese anillo es $\mathbb{Z}[J]/\langle J^2=-1 \rangle$, que es integralmente cerrado. Por lo $F$ es en ese anillo, lo que significa $F = a+bJ$ para algunos enteros $a$$b$.

Si usted entiende la conexión entre Frobenius acciones y puntos de $E$$\mathbb{F}_p$, esto muestra que $\alpha = a+bi$.

La prueba de dibujo de la Reivindicación 2: El número de puntos en $E$ $\mathbb{F}_p$ es congruente modulo $p$ para el coeficiente de $x^{p-1}$ $(x^3+x)^{(p-1)/2}$ (sección 3.4 Silverman). Este coeficiente es $\binom{(p-1)/2}{(p-1)/4}$. Así $$- \alpha - \overline{\alpha} \equiv \binom{(p-1)/2}{(p-1)/4} \mod p$$ o $$-2a \equiv \binom{(p-1)/2}{(p-1)/4} \mod p$$ como se desee.

Comentario: Esto está muy relacionado con la fórmula de Matt E menciona. Para $u \in \mathbb{F}_p$, el número de raíces cuadradas de $u$$\mathbb{F}_p$$1+\left( \frac{u}{p} \right)$. Por lo que el número de puntos en $E$ es $$p+\sum_{x \in \mathbb{F}_p} \left( \frac{x^3+x}{p} \right).$$

Esto es esencialmente Matt suma; si usted quiere, puede utilizar la curva elíptica $y^2 = x^3-x$ con el fin de hacer que las cosas coincidan exactamente, a pesar de que iba a introducir algunos de los signos en otros lugares. Así que tu comentario da a otro (moralmente, el mismo) la prueba de la Reivindicación 2.

Answer 2

Hay una prueba en la página 192 de Franz Lemmermeyer del libro, la Reciprocidad de las Leyes de Euler a Eisenstein. Lo he encontrado por escribir "la suma de dos cuadrados" y "coeficiente binomial" en Google.

También hay una prueba en Allan Adler, del papel, de Eisenstein y el Jacobiano de las variedades de Fermat curvas, que el papel está disponible libremente en la web.

Answer 3

Denotar por $\phi(D)$ la suma Jacobsthal $$ \sum_D\left(\frac tp\right)\left(\frac{t^2+D}p\right). $$ Tenga en cuenta que $\phi(a^2D)=(a/p)\phi(D)$, lo $|\phi(D)|$ sólo depende de $\bigl(\frac Dp\bigr)$; deje $2x$ $2y$ ser los valores absolutos de la Jacobsthal la suma cuadrática cuadrática de los residuos y no residuos, respectivamente.

Teorema (Jacobsthal, 1907). Si $p=4k+1$, $x^2+y^2=p$.

(Como se explicó en el OP, esta declaración implica la fórmula de Gauss.)

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Prueba.Obviamente, $$ \sum_{D\in\mathbb F_p}\phi(D)^2=2(p-1)(x^2+y^2), $$ así que tenemos que calcular la suma $$ \sum_{D}\phi(D)^2= \sum_{D,s,t}\left(\frac{st}p\right)\left(\frac{s^2+D}p\right)\left(\frac{t^2+D}p\right)= \sum_{s,t}\left(\frac{st}p\right)\sum_D\left(\frac{s^2+D}p\right)\left(\frac{t^2+D}p\right). $$

Lema. $$ \sum_D\left(\frac Dp\right)\left(\frac{D+c}p\right)=\begin{cases} \phantom p-1,&c\neq 0;\\ p-1,&c=0. \end{casos} $$

Para probar el lema de $c\neq0$ observa que en este caso $$ \sum_D\left(\frac{D^2+cD}p\right)= \sum_{D\neq0}\left(\frac{1+cD^{-1}}p\right)= \sum_{D'\neq1}\left(\frac{D'}p\right)=-\left(\frac1p\right)=-1. $$

Ahora vamos a aplicar el lema de nuestra suma: $$ \sum_D\left(\frac{s^2+D}p\right)\left(\frac{t^2+D}p\right)= \sum_{D'}\left(\frac{D'}p\right)\left(\frac{D'+t^2-s^2}p\right)= \begin{cases} \phantom p-1,&s\neq\pm t;\\ p-1,&s=\pm t; \end{casos} $$ así $$ \sum_{D}\phi(D)^2=(p-1)\left\{\sum_{s=t}\left(\frac{t^2}p\right)+\sum_{s=-t}\left(\frac{-t^2}p\right)\right\}+(-1)\sum_{s\neq\pm t}\left(\frac{st}p\right). $$ Para $p=4k+1$ esto equivale a $2p(p-1)$ (el último de suma cero). Por lo tanto, de hecho,$x^2+y^2=p$.

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(Para mi sorpresa, aunque la prueba es bastante breve y elemental, no he sido capaz de encontrar una concisa moderno de referencia. De todos modos, Jacobsthal del papel "Über die Darstellung der Primzahlen der Formulario de $4n+1$ ela Summe zweier Quadrate" es bastante accesible.)

Answer 4

(A continuación se muestra una especie de versión de baja tecnología de David Speyer respuesta - [básicamente] demostrando Weil para un cúbicos en lugar de utilizar. Por otro lado, es una especie de más conceptual de la versión de la computación con Jacobsthal sumas de dinero.)

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I. Preliminares

Para cualquiera de los dos (no trivial multiplicativo) caracteres de mod $p$ definir Jacobi suma $$ J(\chi,\lambda):=\sum_{a+b=1}\chi(a)\lambda(b). $$ Recordemos que (si $\chi\lambda$ es no trivial de carácter) $$ J(\chi,\lambda)=\frac{g(\chi)g(\lambda)}{g(\chi\lambda)}, $$ donde $$ g(\chi)=\sum\chi(t)\zeta^t $$ es la costumbre de Gauss suma (cf. beta-función y gamma-función, por cierto).

Corolario. Desde $|g(\chi)|=\sqrt p$, el valor absoluto de un Jacobi suma es $\sqrt p$ (dado que $\chi$, $\lambda$ y $\chi\lambda$ son no triviales).

II. Prueba

Tome $\chi$ a ser un no-trivial carácter de orden $4$ mod $p=4k+1$; $\chi^2=:\rho$ es, entonces, el cuadrática carácter. Desde $\chi$ $\rho$ tomar valores en $\{\pm1,\pm i\}$, la suma de $J(\chi,\rho)$ es una Gaussiana entero, y por el Corolario tiene norma $p$.

Esto ya nos da una prueba de Fermat $4k+1$ teorema. Y de forma explícita (mediante ese $J$ es real sólo si $a$ es un residuo cuadrático) $$ \operatorname{Re}J(\chi,\rho)=\frac12\sum_t\left(\frac tp\right)\left(\frac{1-t^2}p\right)=\frac12\sum_t\left(\frac{t-t^3}p\right). $$ Que es, por supuesto, sólo un ejemplo de conteo de puntos de una curva elíptica ($y^2=x^3-x$ o $y^2=1-x^4$) - bien, contando los puntos en hypersurfaces es el punto de Jacobi sumas de dinero, después de todo.

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Referencia: Irlanda, Rosen. Un Clásico de Introducción a la Moderna Teoría de números (ch. 8).