Expresando ${n\choose{k}}$ Como resumen

Question

Sé que puedes expresar ${n\choose{2}}$ como esta suma: $$\sum_{i=1}^{n-1} i = \frac{n(n-1)}{2},$$ y ${n\choose{3}}$ como $${n\choose{3}}= (n-2)1 + (n-3)2 + (n-4)3 +\cdots+3(n-4) + 2(n-3) + 1(n-2).$$ Me quedé con ${n\choose{4}}$ ¿Cómo puedo encontrar una suma que lo exprese?

De manera más general, ¿puedo encontrar una suma para ${n\choose{k}}$ ?

Answer 1

Sí, puede escribir cualquier $\binom{n}k$ como una suma debido a la siguiente identidad: $$\binom{n}k = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}k,$$ con valores iniciales evidentes $\binom{n}n = \binom{n}0 = 1$ .

Procedimiento para $\binom{n}4$ es un ejercicio recursivo fácil, puesto que ya has calculado $\binom{n}3$ .