Mostrar $\pi_1(SU(2)/H_8)$

Question

Decir $H_8$ es una cuádrupla grupo de orden 8,

¿Cómo se debe pensar en el espacio $SU(2)/H_8$ incluso si $H_8$ no es un subgrupo normal?

¿Cómo podemos mostrar $$\pi_1(SU(2)/H_8)=H_8?$$

Answer 1

Si un grupo discreto $G$ actúa correctamente de forma discontinua en un camino conectado espacio de $X$, luego de la proyección $$p:X\to X/G$$ es una cubierta mapa. Para una referencia, verificación Switzer del algebric topología de texto de la página 62, o en Hatcher, página 72. A partir de aquí, la aplicación de la larga secuencia exacta de un fibration a la cobertura de mapa de $p$ le da: $$\cdots\xrightarrow{\ \ \ }\pi_1(G)\xrightarrow{\ \ \ }\pi_1(X)\xrightarrow{\ \ \ }\pi_1(X/G)\xrightarrow{\ \ \ }\pi_0(G)\xrightarrow{\ \ \ }\pi_0(X)\xrightarrow{\ \ \ }\cdots$$ lo que nos da la breve secuencia exacta: $$0\xrightarrow{\ \ \ }\pi_1(X)\xrightarrow{\ p_* \ }\pi_1(X/G)\xrightarrow{\ \ \partial }\pi_0(G)\cong G\xrightarrow{\ \ \ }0,$$ desde $\pi_1(G)=0$$\pi_0(X)=0$. Uno puede mostrar que $\partial$ es un homomorphism en este caso, y por lo tanto, por el primer teorema de isomorfismo, $$G\cong \frac{\pi_1(X/G)}{p_*(\pi_1(X))}.$$ En tu caso, tenemos: $$H_8\cong\frac{\pi_1(SU(2)/H_8)}{p_*(\pi_1(SU(2)))}.$$ Como explica Max en esta respuesta, $SU(2)\cong S^3$, lo $\pi_1(SU(2))\cong \pi_1(S^3)$ que es trivial, y por lo tanto $$H_8\cong \pi_1(SU(2)/H_8).$$