Relación de recurrencia (lineal, de segundo orden, con coeficientes constantes)

Question

Q1. Encuentre la solución general de la ecuación en diferencia

$$ a_{n} - 4a_{n-1} + 3a_{n-2} = 6 $$

Q2. Resuelve la ecuación de diferencia

$$ a_{n} - a_{n-1} - 2a_{n-2} = 0, a_0 = 2, a_1 = 4 $$

Estoy completamente perdido en la resolución de las preguntas de relación de recurrencia. ¿Puede alguien guiarme en los pasos para resolver las siguientes 2 preguntas?

Answer 1

El enfoque general para resolver las relaciones de recurrencia es el siguiente: dada una relación de recurrencia $$a_n+\alpha_1a_{n-1}+...+\alpha_ra_{n-r}=\beta(n) \; .$$

I) Primero se resuelve la parte homogénea $a_n^{(h)}+\alpha_1a_{n-1}^{(h)}+...+\alpha_ra_{n-r}^{(h)}=0$ :
$\quad$ a) Resolviendo la ecuación característica: $x^r+\alpha_1x^{r-1}+...+\alpha_r=0$ se obtiene $x_1,...,x_r$ las raíces de la ecuación.
$\quad$ b) Si todos los $x_1,...,x_r$ son diferentes entonces el $a_n^{(h)}=A_1x_1^n+...+A_rx_r^n$ , donde $A_1,...,A_r$ son los coeficientes.
$\quad$ c) Si tiene una raíz $x_j$ es de multiplicidad $k$ entonces se sustituye el término $A_jx_j^n$ con $(B_1n^{k-1}+...+B_k)x_j^n$

II) Ahora encuentra una solución particular a la ecuación $a_n^{(p)}+\alpha_1a_{n-1}^{(p)}+...+\alpha_ra_{n-r}^{(p)}=\beta(n)$ . Cada $\beta(n)$ necesita un enfoque diferente para adivinar $a_n^{(p)}$ . Por ejemplo, si $\beta(n)=k^nf(n)$ , donde $k$ es un número y $f(n)$ es un polinomio en $n$ entonces $a_n^{(p)}=k^nn^sg(n)$ donde $k$ es el mismo $k$ , $s$ es la multiplicidad de $k$ como raíz de la ecuación característica en la parte homogénea y $g(n)$ es un polinomio del mismo grado que $f(n)$ .

Finalmente, $a_n=a_n^{(h)}+a_n^{(p)}$

Answer 2

El general lineal homogénea de segundo orden ecuación de recurrencia/diferencia con coeficientes constantes

$$x_{n}+c_{1}x_{n-1}+c_{2}x_{n-2}=0\qquad (1)$$

tiene dos soluciones fundamentales $(\lambda _{1}^{n})_{n\geq 0}$ y $(\lambda _{2}^{n})_{n\geq 0}$ , donde $\lambda _{1},\lambda _{2}$ son los dos ceros del polinomio característico

$$\lambda ^{2}+c_{1}\lambda +c_{2}\qquad (2)$$

Confirmémoslo.

$$\begin{eqnarray*} \lambda _{1}^{n}+c_{1}\lambda _{1}^{n-1}+c_{2}\lambda _{1}^{n-2} &=&\lambda _{1}^{n-2}\left( \lambda _{1}^{2}+c_{1}\lambda _{1}+c_{2}\right) \equiv 0 \\ && \\ \lambda _{2}^{n}+c_{1}\lambda _{2}^{n-1}+c_{2}\lambda _{2}^{n-2} &=&\lambda _{2}^{n-2}\left( \lambda _{2}^{2}+c_{2}\lambda _{2}+c_{2}\right) \equiv 0 \end{eqnarray*}$$

Si $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ la solución general de $(1)$ es una combinación lineal combinación lineal de $\lambda _{1}^{n}$ y $\lambda _{2}^{n}$

$$x_{n}=A\lambda _{1}^{n}+B\lambda _{2}^{n}\qquad (3)$$

como se puede confirmar sustituyendo $(3)$ en $(1)$ . Apliquemos este resultado a su segunda ecuación en diferencia $a_{n}-a_{n-1}-2a_{n-2}=0$ . El polinomio característico $\lambda ^{2}-\lambda -2$ tiene los ceros $\lambda _{1}=-1,\lambda _{2}=2$ .

Así, $(3)$ se convierte en

$$a_{n}=A(-1)^{n}+B2^{n}$$

Las constantes $A$ y $B$ se determinan utilizando las condiciones iniciales $a_{0}=2$ , $a_{1}=4$ .

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Añadido: Determinación de $A$ y $B$ :

$$a_{0}=A(-1)^{0}+B2^{0}=A+B=2\Leftrightarrow B=2-A$$

Por lo tanto,

$$a_{n}=A(-1)^{n}+\left( 2-A\right) 2^{n}$$

y

$$a_{1}=A(-1)^{1}+\left( 2-A\right) 2^{1}=-A+4-2A=-3A+4=4\Leftrightarrow A=0.$$

Desde $A=0$ y $B=2-A=2$ la solución es

$$a_{n}=2\cdot 2^{n}=2^{n+1}\qquad n\geq 2$$

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En cuanto a tu primera ecuación, no es homogénea porque el lado derecho no es cero. Para resolverla, consulta la explicación de Dennis Gulko en su respuesta.

Answer 3

Una forma sencilla y general de disponer de este tipo de ecuaciones es utilizando funciones generadoras. Definir: $$ A(z) = \sum_{n \ge 0} a_n z^n $$ Escribe la recurrencia para que no tenga sustracciones en los índices: $$ a_{n + 2} - 4 a_{n + 1} + 3 a_n = 6 $$ Multiplicar por $z^n$ , suma sobre $n \ge 0$ y reconocer los términos resultantes: $$ \frac{A(z) - a_0 - a_1 z}{z^2} - 4 \frac{A(z) - a_0}{z} + 3 A(z) = 6 \frac{1}{1 - z} $$

Sustituyendo sus valores iniciales, y resolviendo para $A(z)$ , escribiéndolo como fracciones parciales: $$ A(z) = \frac{3}{(1 - z)^3} + \frac{5}{2 (1 - z)} + \frac{5}{2 (1 - 3 z)} $$ Utilizando el teorema del binomio generalizado puedes leer los coeficientes: \begin {align} a_n &= 3 \binom {-3}{n} (-1)^n + \frac {5}{2} + \frac {5}{2} \cdot 3^n \\ &= 3 \binom {n + 3 - 1}{3 - 1} + \frac {5}{2} + \frac {5}{2} \cdot 3^n \\ &= \frac {3 (n + 2) (n + 1)}{2} + \frac {5}{2} + \frac {5}{2} \cdot 3^n \\ &= \frac {5 \cdot 3^n + 3 n^2 + 9 n + 11}{2} \end {align} La otra la dejo como ejercicio para el amable lector.