Evaluar un límite de serie mediante la integral de Riemann

Question

Dejemos que $$ \lim_{n\to\infty} n\cdot \sum_{j=1}^n \frac{\cos\left(\frac{n}{j}\right)f\left(\frac{n}{j}\right)}{j^2} $$

Donde $f$ es $C^\infty$ y monótonamente decreciente: $\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$ .

Tengo que evaluar el límite. Hay que utilizar la integral de Riemann. Supongo que debe haber algunos movimientos algebraicos para llegar a eso, y el integrando (mi suposición) debe ser $f(x)\cos(x)$ .

¿Podría ayudarme a unir los puntos?

Answer 1

Definir $g(x)=\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)f\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}$ y escribir lo anterior como:

$$\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{n}g\left(\frac{j}{n}\right)$$

Que es una suma de Reimann, que tiene, como límite:

$$\int_{0}^1 g(x)\,dx$$

Eso va a depender de $g$ . En particular, podría ser una integral impropia, dependiendo de si puede hacer $g$ continua en $0$ .

Entonces $g\left(\frac{1}u\right)=u^2f(u)\cos u$

Sustituyendo $x=\frac{1}{u}$ así que $dx=\frac{-du}{u^2}$ lo consigues: $$\int_1^{\infty} f(u)\cos u \,du$$