Es posible poner la serie en otras series?

Question

He estado trabajando en un proyecto para un tiempo bastante largo, pero me encontré atrapado en un paso donde tengo que multiplicar los elementos de una serie de elementos de la otra serie, la cual es dependiente de la anterior. Finalmente, se debe tener este aspecto: $$\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{(n_f-11)}6\rfloor}(2i+3)\sum_{c=1}^i(2c-1)$$, donde cada resultado de la primera serie multiplica los diversos resultados de la segunda, cuyo número aumenta con el valor de i.

Me gustaría saber si es posible, como nunca he visto nada como esto (yo soy poco más que un aficionado a las Matemáticas), y si no es así, agradecería algunas sugerencias sobre formas alternativas de hacerlo.

Gracias de antemano!

Answer 1

Observe que el interior de la suma es igual a

$$2 \sum \limits _{c=1} ^i c - \sum \limits _{c=1} ^i 1 = 2 \frac {i(i+1)} 2 - i = i^2 .$$

Su suma, entonces, se convierte en $$\sum \limits _{i=1} ^N (2i+3) i^2 = 2 \sum \limits _{i=1} ^N i^3 + 3 \sum \limits _{i=1} ^N i^2 = 2 \frac {N^2 (N+1)^2} 4 + 3 \frac {N(N+1)(2N+1)} 6 = \frac {N^4 + 4N^3 + 4N^2 + N} 2 ,$$

donde $N = \lfloor \dfrac {n_f-11} 6 \rfloor$.

Las sumas de las potencias que he utilizado son bien conocidos, usted puede encontrar una breve lista en Wikipedia.

Answer 2

Sugerencia. Uno puede recordar que $$ \sum_{c=1}^i(2c-1)=i^2 $$ y que $$ \sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6, \quad \quad \sum_{i=1}^ni^3=\frac{n^2(n+1)^2}4. $$

Por lo tanto su suma inicial vuelve a escribir $$ \sum_{i=1}^{\lfloor\frac{(n_f-11)}6\rfloor}(2i+3)\sum_{c=1}^i(2c-1)=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{(n_f-11)}6\rfloor}(2i+3)\cdot i^2=2\sum_{i=1}^{n}i^3+3\sum_{i=1}^{n}i^2 $$ with $\displaystyle n=\lfloor\frac{(n_f-11)}6\rfloor$.