Encuentra una base $ \alpha = \{ \vec\alpha_1 , \vec\alpha_2 , \vec\alpha_3 \}$ de $P_2(R)$ de tal manera que $[2 + 5x + 4x^2]_ \alpha = \left ( \begin {matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end {matrix} \right )$
He abordado el problema de la siguiente manera: $$ \begin {align*} \vec v &= 2 + 5x + 4x^2 \\ s &= \{1, x, x^2\} \\ [ \vec v]_s &= \left ( \begin {matrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end {matrix} \right ) \\ [ \vec v]_ \alpha &= \left ( \begin {matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end {matrix} \right ) \\ _sC_ \alpha &= \left ( \begin {matrix} \uparrow & \uparrow & \uparrow \\ \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow \end {matrix} \right ) \end {align*}$$
Por lo tanto: $$ \begin {align*} {_sC_ \alpha }^{-1} [ \vec v]_s &= [ \vec v]_ \alpha\\ [ \vec v]_s &= _sC_ \alpha [ \vec v]_ \alpha \end {align*}$$ Así que $$ \left ( \begin {matrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end {matrix} \right ) = \left ( \begin {matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end {matrix} \right ) \left ( \begin {matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end {matrix} \right )$$ Para lo cual una posible solución es $$ \left ( \begin {matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end {matrix} \right ) = \left ( \begin {matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 5/2 & 0 \\ 0 & 0 & 4/3 \end {matrix} \right )$$
Mi pregunta básicamente se reduce a esto: ¿Es una respuesta válida? Me parece que bajo el Campo R existen infinitas bases de este tipo.
PD: ¿Soy sólo yo o el formato de látex para \bordermatrix no trabajar en este sitio?
