Demostrar que existe una distancia mínima entre un conjunto cerrado y uno compacto.

Question

Dejemos que $A$ sea un conjunto compacto y $B$ un conjunto cerrado ( $\varnothing\ne A,B\subseteq \mathbb{R}^n$ ). Demostrar que hay una distancia mínima entre $A$ y $B$ .

En clase hemos visto que hay una distancia mínima entre un conjunto compacto $A$ y un punto $x_0\notin A$ . Pensé en utilizarlo como una generalización.

En primer lugar podemos suponer que los puntos (si existen) deben estar en las esferas de los conjuntos. Para cada $x_0$ en el ámbito de $B$ hay un punto $y_0$ en el ámbito de $A$ tal que $\forall y\in A: \|y_0-x_0\| \le \|y-x_0\|$ .

Así que definimos $f:A\to \mathbb{R}$ tal que $f(x) = \text{minimumDistance(x,B)}$ .

¿Es un buen comienzo? ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

La razón es que en $\mathbb R^n$ Los conjuntos cerrados acotados son exactamente los conjuntos compactos.

$A$ está acotado, por lo que podemos establecer $B' = B\cap [-K,K]^n$ para un tamaño suficientemente grande $K$ para que todos los puntos de $B\setminus B'$ están lo suficientemente lejos de $A$ (es decir, para que $d(A, B\setminus B')>d(a,b)$ para algunos fijos $a\in A$ y $b\in B$ ).

$B'$ es cerrado y acotado, por lo que es compacto y hay una distancia mínima entre $A$ y $B'$ que sigue siendo mínima entre $A$ y $B$ de la elección de $K$ .

Lo suficientemente lejos significa que