Este es un concepto que parece muy intuitiva para mí, pero siento que mi prueba es complicada. Podría alguien con más experiencia que yo quizá algunas críticas/dime si estoy en lo correcto aún?
Deje $A\subset\omega$. Quiero mostrar que la $A$ es infinito si y sólo si $$ \forall_m(m\in\omega\implica\exists_n(n\in A\de la tierra (m\lt n))). $$
Aquí $a<b\iff a\in b$$a,b\in\omega$. También, $A\sim B$ significa que dos conjuntos son en bijection.
Creo que mi prueba es demasiado rotonda. Demuestro $\implies$ por el contrapositivo. Supongamos que la anterior propiedad no es cierto. De modo que existe un $m$ tal que no es $n\in A$ tal que $m<n$. Esto significa para todos $n\in A$, $n\leq m$, lo que implica $n\lt m^{+}$. Por lo $A\subseteq m^+$. Si $A=m^+$, entonces obviamente $A\sim m^+$, por lo que, por definición, $A$ es finito. Si $A\subsetneq m^+$, entonces sabemos $A\sim p$ algunos $p<m^+$, lo $A$ es finito por definición.
Para $\impliedby$, siento que las cosas van de mal en peor. Yo intente probar el contrapositivo por la contradicción. Supongo que $A$ es finito, pero la propiedad se mantiene. Ahora si $A$ está vacía, la propiedad es false, una contradicción, por lo que el contrapositivo mantiene como sea necesario. Así que supongamos $A$ es no vacío. Desde $A$ es finito, $A$ debe tener un mayor elemento. (Trato de justificar mediante la aplicación de la bien-principio de orden en la clasificación inversa. Este es probablemente mi mayor preocupación, es aceptable?) Denotar este elemento $k$. Considere la posibilidad de $k^+$. A continuación,$k^+\in\omega$, y por la propiedad, tenemos que hay un $p\in A$ tal que $k^+<p$, pero $k<p$, una contradicción.
Pedimos disculpas por esta desordenado prueba. ¿Cómo puedo limpiar o corregir? Muchas gracias.
