binomios producto de la alternancia de cálculo de suma de

Question

Necesito de alguna manera demostrar que $\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {n \choose k} {3 n - k - 1 \choose 2 n - k}(-1)^k = (-1)^{n + 1} {2 n - 1 \choose n}$.

No he podido hacer que el uso de la inducción o cualquier combinatoria ideas. Podría alguien ayudarme?

Answer 1

$$ \begin{align} \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}\binom{3n-k-1}{2n-k}(-1)^k &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\binom{-n}{2n-k}-\binom{n}{n}\binom{-n}{n}\tag{1}\\ &=\binom{0}{2n}-\binom{-n}{n}\tag{2}\\ &=[n=0]-(-1)^n\binom{2n-1}{n}\tag{3} \end{align} $$ Explicación:
$(1)$: $(-1)^k\binom{3n-k-1}{2n-k}=\binom{-n}{2n-k}$. Ver esta respuesta.
$(2)$: Vandermonde la Identidad de
$(3)$: $\binom{-n}{n}=(-1)^n\binom{2n-1}{n}$. Ver esta respuesta.

Answer 2

Tenemos que $$ S(n)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\binom{3n-k-1}{2n-k}(-1)^k \tag{1}$$ es el coeficiente de $x^{2n}$ en el producto entre: $$ A(x) = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k(-1)^k\quad\text{and}\quad B(x)=\sum_{k=n}^{2n}\binom{n+k-1}{k}x^k. \tag{2}$$ Desde: $$ \widetilde{B}(x) = \sum_{k\geq 0}\binom{n+k-1}{k}x^k = \frac{1}{(1-x)^n}\tag{3}$$ tenemos: $$ S(n) = [x^{2n}]\left( A(x)\cdot\widetilde{B}(x)\right) = [x^{2n}]\left((1-x)^n\cdot \frac{1}{(1-x)^n}\right) = 0\tag{4} $$ para cada $n>0$, por lo tanto:

$$ \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}\binom{3n-k-1}{2n-k}(-1)^k = 0-\binom{n}{n}\binom{3n-n-1}{2n-n}(-1)^n = (-1)^{n+1}\binom{2n-1}{n}.$$

Answer 3

Supongamos que buscamos para comprobar que $$\sum_{k=0}^{n-1} {n\elegir k} {3n-k-1\elegir 2n-k} (-1)^k = (-1)^{n+1} {2n-1\elegir n}$$

que es el mismo que $$\sum_{k=0}^{n} {n\elegir k} {3n-k-1\elegir 2n-k} (-1)^k = \left((-1)^n+(-1)^{n+1}\right) {2n-1\elegir n} = 0.$$

Introducir $${3n-k-1\elegir 2n-k} = {3n-k-1\elegir n-1} = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{n}} (1+z)^{3n-k-1} \; dz.$$

Esto produce por la suma $$\frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{n}} (1+z)^{3n-1} \sum_{k=0}^n {n\elegir k} (-1)^k \frac{1}{(1+z)^k} \; dz \\ = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{n}} (1+z)^{3n-1} \left(1-\frac{1}{1+z}\right)^n \; dz \\ = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{n}} (1+z)^{3n-1} \frac{z^n}{(1+z)^{n}} \; dz \\ = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} (1+z)^{2n-1} \; dz = 0.$$

Answer 4

Primero se multiplica ambos lados de la identidad deseada por $(-1)^{n-1}$ para obtener el equivalente de identidad

$$\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-1-k}\binom{n}k\binom{3n-k-1}{2n-k}=\binom{2n-1}n\;.$$

Restando $\binom{2n-1}n$ desde ambos lados y multiplicando por $(-1)^n$ los rendimientos de la forma equivalente

$$\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}k\binom{3n-1-k}{2n-k}=0\;.\tag{1}$$

Esto tiene la apariencia de una inclusión-exclusión en el cálculo, y, de hecho, resulta ser interpretable como uno.

Queremos contar la $2n$-elemento de subconjuntos de a $[3n-1]$ que son distintos de $[n]$. De curso $|[3n-1]\setminus[n]|=2n-1$, por lo que no hay tales subconjuntos. Por otro lado, para cada una de las $k$-elemento subconjunto $S$ $[n]$ hay $\binom{3n-1-k}{2n-k}$ $2n$-elemento de subconjuntos de a $[3n-1]$ que contengan $S$. Por este caso especial de la inclusión-exclusión principio, el lado izquierdo de $(1)$ es el número de $2n$-elemento de subconjuntos de a $[3n-1]$ que no contienen ningún tipo de $k\in[n]$.