Solución de $ f \circ f=f'$

Question

Sea $f:\mathbb R \to \mathbb R $ sea una función tal que $f \circ f=f'$ et $f(0)=0$ he demostrado que $f$ es la función nula.

¿Podemos demostrar que el mismo resultado es válido si cambiamos $f \circ f=f'$ por $f \circ f \circ f \circ f=f'$ ?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Para $n\in\mathbb N$ , dejemos que $f^{\circ n}$ denotan el $n$ iteración de $f$ es decir $f^{\circ1}=f$ y recursivamente $f^{\circ(n+1)}=f\circ f^{\circ n}$ .

Proposición. Sea $m\ge 2$ y asumir $f\colon \mathbb R\to\mathbb R$ es una función diferenciable con $f'=f^{\circ m}$ et $f(0)=0$ . Entonces $f(x)=0$ para todos $x\in\mathbb R$ .

Prueba. Sea $$I=\{\,r\in(0,\infty)\mid \forall x\in[-r,r]\colon f(x)=0\,\}. $$ Queremos demostrar que $I$ no tiene límites.

Para empezar, demostraremos que $I$ no es vacío. Por lo que se da, $f$ es continua y entonces de $f(0)=0$ vemos que existe $r_0$ con $0<r_0<1$ tal que $|f(x)|\le 1$ para todos $x$ con $|x|\le r_0$ . Sea $$ S=\{\,n\in\mathbb N_0\mid \forall x\in[-r_0,r_0]\colon |f(x)|\le |x|^n\,\}.$$ Entonces acabamos de ver que $S$ no es vacío porque $1\in S$ . Supongamos que $S$ es finito y $M$ sea su elemento maximal. Consideremos $x$ con $0<|x|\le r_0$ . Entonces por el Teorema del Valor Intermedio $$ f(x)=xf'(\xi)$$ para un valor intermedio $\xi$ especialmente, $|\xi|\le r_0$ .

Por inducción, tenemos $|f^{\circ n}(\xi)|\le |\xi|^{M^n}$ para todos $n\in\mathbb N$ . De hecho, el caso base $|f^{\circ 1}(\xi)|=|f(\xi)|\le |\xi|^M$ se deduce de $M\in S$ et $\xi\in[-r_0,r_0]$ . En $ |\xi|\le r_0< 1$ también tenemos $|\xi^M|\le r_0$ para que el paso de inducción funcione: $$ |f^{\circ(n+1)}(\xi)|=|f^{\circ n}(f(\xi))|\le |f(\xi)|^{M^n}\le (|\xi|^M)^{M^n}=|\xi|^{M^{n+1}}.$$ Concluimos que $$|f(x)|=|x|\cdot|f'(\xi)|\le |x|\cdot|\xi|^{M^m}\le |x|^{M^m+1}. $$ Esto demuestra $M^m+1\in S$ contradiciendo la maximalidad de $M$ . Concluimos que $S$ no tiene límites. Esto implica que $f(x)=0$ para todos $x$ con $|x|\le r_0$ . En otras palabras, $r_0\in I$ .

Supongamos que $I$ está acotada y $R=\sup I\in(0,\infty)$ . Por continuidad de $f$ existe $s>R$ tal que $|f(x)|<R$ para todos $x$ con $|x|<s$ . Entonces para $x\in(-s,s)$ tenemos $f(f(x))=0$ y por inducción $f^{\circ n}(x)=0$ para todos $n\ge 2$ . Concluimos que $f'(x)=f^{\circ m}(x)=0$ para todos $x\in(-s,s)$ Por lo tanto $f(x)=f(0)=0$ para todos $x\in(-s,s)$ . Pero entonces $s\in I$ lo que contradice $s>\sup I$ . Concluimos que $I$ no tiene límites. $_\square$

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Observación: La proposición también es válida para $m=1$ como $f'=f$ implica $f(x)=ce^x$ para alguna constante $c$ que aquí debe ser cero.