¿Cómo falla la intuición para dimensiones superiores?

Question

En esta respuesta :

Ahora bien, la Geometría Algebraica es una de las y más activas de las Matemáticas, con conexiones con casi todas las otras ramas de forma directa o sutil. La principal con Pierre de Fermat y René Descartes, quienes se dieron cuenta de que que para estudiar geometría se podía trabajar con ecuaciones algebraicas ecuaciones algebraicas en lugar de dibujos e imágenes (lo que ahora es fundamental para trabajar con objetos de dimensiones superiores, ya que ahí falla la intuición ).

¿Cuáles son esos fallos? ¿Puede darme algunos ejemplos?

Answer 1

Esferas en un hipercubo

He aquí un ejemplo.

Tomar un cuadrado de longitud de arista $4$ . Visite $2^2=4$ círculos de radio $1$ en ese cuadrado, en la disposición obvia. A continuación, coloca un círculo en el centro de todos ellos y haz que ese quinto círculo sea lo más grande posible. Para calcular su radio, mira la distancia entre el centro del cuadrado y el centro de uno de los círculos grandes. Ese vector diferencia es $1$ paso de longitud para cada una de sus dos dimensiones, por lo que la distancia es $\sqrt2$ . Como el círculo grande tiene radio $1$ tu pequeño círculo tiene radio $\sqrt2-1$ .

Ahora vaya a la dimensión $n$ . Se tiene un hipercubo de longitud de arista $4$ en el que se coloca $2^n$ esferas de radio $1$ y una esfera central de radio $\sqrt n-1$ . Para $n=4$ la esfera central ya será tan grande como las esferas exteriores, y para $n>4$ será mayor. En $n=9$ el radio de la esfera central será $2$ por lo que la esfera central tocará el hipercubo contenedor. Para $n>9$ la esfera central ya no cabrá en el hipercubo, aunque siga tocando el interior de todas las esferas de radio 1 contenidas en el hipercubo.

Esto me parece bastante contraintuitivo, aunque el álgebra es bastante simple.

Embalajes de esferas finitas

Un fenómeno remotamente relacionado: tome un número finito $m$ de esferas unitarias, y disponerlas de forma que el volumen del casco convexo sea mínimo. Puedes imaginar que, para unas pocas esferas, colocarlas en línea recta será lo mejor, pero cuantas más esferas tengas, más compacta parecerá una agrupación en comparación. Para 3D, existen agrupaciones más compactas para, por ejemplo $m=56$ esferas.

Para $n\geq42$ dimensiones (nota ese número !) lo se ha demostrado que se cumple la "conjetura de la salchicha": para esas dimensiones, la disposición en línea recta de la salchicha siempre ser óptima independientemente del número de esferas. Se ha conjeturado, pero no demostrado, que la salchicha es siempre óptima para $n\geq5$ dimensiones. En Artículo de la Wikipedia en alemán sobre este tema tiene unas bonitas ilustraciones, aunque no entiendas el idioma.

Answer 2

La intuición ya se rompe ante el hecho de que dos planos pueden encontrarse en un mismo punto . La moraleja es que visualizar intersecciones en dimensiones superiores es difícil.

Otro ejemplo: el volumen del $n$ -esfera. Empieza en 2, luego aumenta hasta la dimensión 4, después vuelve a disminuir y, de hecho, llega a cero. (De hecho, hay un largo debate sobre este tema en mathoverflow )

Answer 3

No contiene geometría algebraica, pero un ejemplo que merece la pena conocer se refiere a las esferas de alta dimensión. A grandes rasgos, el resultado es que, cuando la dimensión es suficientemente alta, toda la masa de la esfera se concentra en cualquiera de sus ecuadores. Un poco como si cada $\varepsilon$ -cerca del Ecuador era suficiente para abarcar casi toda la superficie de la Tierra. Como cada $\varepsilon$ -...vecindad de cada par de meridianos opuestos...

Hablando con rigor, se introduce la medida de probabilidad uniforme $u_n$ en el $n$ -esfera dimensional $S^n=\{x=(x_k)_{1\leqslant k\leqslant n+1}\in\mathbb R^{n+1}\mid x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2=1\}$ y el $\varepsilon$ -barrio $N^n_\varepsilon$ del gran círculo $x_{1}=0$ definido por $N^n_\varepsilon=\{x\in S^n\mid |x_{1}|\leqslant\varepsilon\}$ . Entonces, para cada $\varepsilon\gt0$ , $u_n(S^n\setminus N^n_\varepsilon)\to0$ cuando $n\to\infty$ .

Obsérvese que, por simetría, lo mismo se aplica a $\bar N^n_\varepsilon=\{x\in S^n\mid |x_{42}|\leqslant\varepsilon\}$ .