Singularidades de $f(z) = \frac{e^z - e}{(z^2 - 2z + 1)} + z^3\sin(\frac1z).$

Question

En la sección de solución de mi libro de texto se dice que la función

$$f(z) = \frac{e^z - e}{(z^2 - 2z + 1)} + z^3\sin(\frac1z).$$

tiene un polo de orden $1$$z_0 = 1$. No entiendo por qué esto es así. La función de $f(z)$ puede ser escrito como

$$f(z) = \frac{e^z - e}{(z-1)^2} + z^3\sin(\frac1z)$$

y por lo tanto, en mi opinión, $f(z)$ tiene un polo de orden $2$$z_0 = 1$. Me hizo encontrar la respuesta correcta que $0$ es una singularidad esencial mediante la expansión de $\sin(\frac1z)$ en una Laurent de la serie, pero no entiendo por qué la $1$ es un polo de orden $1$. Es posible que es un error?

Answer 1

La solución en tu libro de texto es correcto.

Recordemos que $z_0$ es un polo de orden $k$ si y sólo si $\lim_{z \to z_0}(z - z_0)^k f(z) \neq 0$ pero $\lim_{z \to z_0}(z - z_0)^{k+1} f(z) = 0$.

Tenemos

$$\lim_{z \to 1}(z - 1)f(z) = \lim_{z \to 1}\frac{e^z - e}{(z-1)} = e \neq 0$$

pero $$\lim_{z \to 1}(z - 1)^2f(z) = 0.$$

Por lo $z_0 = 1$ es un polo de orden $1$.

Answer 2

Tenga en cuenta que la Lauren de expansión de $\frac{e^z-e}{(z-1)^2}$ está dado por

$$\frac{e^z-e}{(z-1)^2} =\frac{e}{z-1}+e\sum_{n=0}^\infty \frac{(z-1)^n}{(n+2)!}$$