¿Cómo representar la multiplicación de matrices en el álgebra tensorial?

Question

¿Cómo podemos representar la multiplicación de matrices en el álgebra tensorial?

Incluso si suponemos que todas las matrices representan únicamente tensores contravariantes, es evidente que la multiplicación de matrices no se corresponde con la operación de multiplicación del álgebra tensorial (el producto tensorial), ya que la primera es de grado preservado o de grado reducido, mientras que la segunda es siempre de grado aumentado.

Y luego, si permitimos que las matrices representen tensores de varianza contravariantes o covariantes o mixtos, las cosas se vuelven aún más confusas.

Por ejemplo, una forma cuadrática puede ser representada por la misma matriz que la forma bilineal que genera a través de la polarización.

Parece que debemos utilizar implícitamente la propiedad universal que relaciona $V \otimes V$ (producto tensorial) y $V \times V$ (producto cartesiano). Pero podemos definir el mismo tipo de multiplicación (matricial) para $V \otimes V^*, V^* \otimes V,$ o $V^* \otimes V^*$ o entre elementos de dos cualesquiera.

Así que ahora incluso la afirmación de que las matrices representan transformaciones lineales y que la multiplicación de matrices es la composición de mapas lineales me parece sospechosa.

¿Es sólo el resultado del hecho de que el álgebra lineal se inventó antes que el álgebra multilineal/análisis tensorial, y por lo tanto la gente abusaba de la notación cuando usaba las matrices sin darse cuenta, pero luego la convención se mantuvo? ¿O hay algo más que se me escapa?

Pregunta relacionada pero más abstracta y ligeramente diferente: ¿Cómo se describe la multiplicación estándar de matrices mediante productos tensoriales?

Artículos relevantes de la wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Outer_product#Tensor_multiplication , https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_product

Answer 1

Fijar una base $\{e_1, \ldots, e_n\}$ de $V$ y considerar la base dual $\{f_1, \ldots, f_n \}$ de $V^\ast$ . Entonces tenemos una base $$\{e_1\otimes f_1,\ldots, e_i \otimes f_j, \ldots, e_n \otimes f_n\}$$ para $V \otimes V^\ast$ y la matriz $$A = (a_{ij})$$ es sólo una forma de representar el elemento $$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} \; e_i \otimes f_j \in V \otimes V^\ast.$$

Por supuesto, un elemento de $V \otimes V^\ast$ da un mapa lineal $V \to V$ por

$$(w \otimes f)(v) := f(v) w$$

y extendiendo por linealidad. Dados dos elementos de este tipo, podemos componer las funciones correspondientes:

$$(w' \otimes f')(w \otimes f)(v) = (w' \otimes f')(f(v) w) = f(v) f'(w) w' = f'(w) \; (w' \otimes f)(v)$$

por lo que la composición de los mapas lineales viene dada por

$$(w' \otimes f') \circ (w \otimes f) = f'(w) \; (w' \otimes f)$$

extendida por la linealidad. Si escribe sus elementos en el $e_i \otimes f_j$ y aplicarles esta operación, verás que sale la definición habitual de multiplicación de matrices.

Por supuesto, todos los cálculos con tensores explícitos anteriores pueden reformularse en términos de la propiedad universal del producto tensorial si se quiere.

Todo esto suponiendo que se quiere que la matriz represente un elemento de $V \otimes V^\ast$ en lugar de un elemento de $V \otimes V$ o $V^\ast \otimes V^\ast$ . Pero de la misma manera se puede calcular lo que debe suceder en casos como ese.