Mostrando que $f(x)=x\sin (1/x)$ no es absolutamente continua en $[0,1]$

Question

En el intervalo [0,1]. Definir $f(x)=x\sin(1/x)$$x\in(0,1]$$f(0)=0$. Yo no trabajo fuera de los detalles exactos, pero estoy bastante seguro de que, a continuación,$$\Big |\int_0^xf'(t)dt\Big |=\infty,$$ due to a process similar to something of the form $1-2+3-4+5-...$ , como uno se aproxima a cero desde arriba.

Sin embargo, conforme a la medida de la teoría de la definición de continuidad absoluta, no debe ser en realidad un conjunto de medida cero $E\in[0,1]$ tal que $$\Big |\int_Ef'd\mu\Big | > 0.$$

Yo no estaba bajo la impresión de que esto era posible.

Edit: tal vez yo no estaba claro acerca de lo que mi pregunta es. Lo que yo quiero es una prueba (constructivas o no) que exista un conjunto de medida cero $E$ tal que $\Big |\int_Ef'd\mu\Big | > 0.$ O si eso no es posible, entonces que alguien me explique lo que mi idea errónea es la relativa a la medida teórica de la definición de continuidad absoluta:

Para $v(E)=\int_Efd\mu$.

Si $\mu(E)=0$$v(E)=0$.

enlace a la definición de

la definición también se puede encontrar en Royden del Análisis Real

Answer 1

Actualización: se ha Corregido la definición del tipo de error, pero parece que la prueba no es medida basada, como el OP dijo que lo que él/ella necesita. Así que es necesario trabajar más.

Dado positivo número $\epsilon$, para cada $\delta>0$, si usted toma puntos $$a_{k}=\frac{1}{2km\pi},a_{k+1}=\frac{1}{(2k+1)m\pi}$$for example, then you have $$f(a_{k})=\frac{1}{2km\pi},f(a_{k+1})=\frac{-1}{(2k+1)m\pi},|f(a_{k})-f(a_{k+1})|\ge \frac{2}{(2k+1)m\pi}$$Here $m\in \mathbb{N}$ is an odd number large enough such that $$\sum_{k=1}^{\infty}|a_{k}-a_{k+1}|<\delta,\forall k\in \mathbb{N}$$ Esto es posible porque somos esencialmente tomando las sumas parciales de la alternancia de la serie. Así que si elegimos $m$ a ser lo suficientemente grande, se puede "apretar" la suma a menos de $\delta$.

Ahora, si usted recoge los puntos de $\{a_{k}\}_{k\rightarrow \infty}$, $$\sum_{k=1}^{\infty}|f(a_{k})-f(a_{k+1})|>\epsilon$$desde el lado izquierdo esencialmente diverge.

Para tu pregunta en el comentario, la derivada es sólo indefinido al $x=0$. De lo contrario, es perfectamente bien definida la función. Por lo que se define casi en todas partes.

Answer 2

Tenga en cuenta que estamos tomando como dado el hecho de que $f$ no es absolutamente continua.

Voy a responder a mi propia pregunta y en el proceso de plantear otra pregunta:

Si una medida $v$ no es absolutamente continua con respecto a $\mu$, entonces no tiene una representación de la forma $$v(E)=\int_Egd\mu.$$

Por lo tanto dado $$f(x) = \left\{\begin{matrix} x\sin(1/x) &\;\;\;\;\;\;\;\;x\in[-1,1]\backslash\{0\} \\ 0&x=0 \end{de la matriz}\right.$$

A continuación, la medida de $v$ $[-1,1]$ inducida por $f$, es decir $v(E)=\mu(\;\{x\in[-1,1]:f(x)\in E\}\;)$, no es absolutamente continua en $[-1,1]$ con respecto a la medida de Lebesgue, esto significa que no puede ser escrita en la forma integral de arriba.

Sin embargo, sigue siendo cierto que la continuidad absoluta de una medida $v$ con respecto a otra medida $\mu$ (en este caso $\mu$ medida de Lebesgue), es equivalente a la propiedad que $$\mu(E)=0\Rightarrow v(E)=0.$$

** $v$ $\mu$ $\sigma$- Finita, lo que ellos son.

Por lo tanto nos vemos obligados a concluir que existe una $E\in[-1,1]$ tal que $\mu(E)=0$, pero donde la medida de Lebesgue del conjunto que se asigna a $E$ bajo $f$ no es cero; que, honestamente, no parece posible. La única manera en la que parece posible es que si alguna extraña innumerable conjunto de medida cero (como el conjunto de Cantor), tiene asignado a un conjunto de medida positiva. Puede alguien encontrar este conjunto?