$\sum_{\alpha<\omega_2}|\alpha|^{\aleph_0}=\aleph_2\cdot\aleph_1^{\aleph_0}$

Question

He visto esta declaración en varias publicaciones (por ejemplo, aquí y aquí), pero me parece que no puede entender. Puedo ver por qué

$$\sum_{\alpha<\omega_2}|\alpha|^{\aleph_0}=\aleph_1^{\aleph_0},$$

señalando que todos los $\alpha<\omega_2$, lo $|\alpha|\leq\aleph_1$, lo que significa

$$\sum_{\alpha<\omega_2}|\alpha|^{\aleph_0}=\max_{\alpha<\omega_2}|\alpha|^{\aleph_0}=\aleph_1^{\aleph_0}.$$

Entonces, ¿cómo es $\aleph_2$ entran en la ecuación?

Answer 1

La suma ha $\aleph_2$ términos, cada uno de los cuales es en la mayoría de las $\aleph_1^{\aleph_0}$, entonces es acotada arriba por $\aleph_2\cdot\aleph_1^{\aleph_0}$. Por otro lado, es claramente, al menos, $\aleph_2$ y al menos el $\aleph_1^{\aleph_0}$, por lo que su limitada por debajo de su máximo, que es simplemente su producto.

Answer 2

Podemos probar algo bastante más general. Dado un regular el cardenal $\kappa$, dándose cuenta de que cada función $\lambda\rightarrow \kappa$ $\lambda<\kappa$ ($\lambda$ el cardenal) debe tener acotado el rango en $\kappa$, podemos escribir $$\kappa^{\lambda}=\bigcup_{\alpha <\kappa} \alpha^{\lambda},$$ where $\alfa$ ranges over ordinals. Therefore we get easily $$\kappa^{\lambda}=\sum_{\alpha< \kappa}\vert \alpha\vert^{\lambda}.$$ Using this fact, since each successor cardinal is regular, we can prove (for all $\alpha,\beta$ ordinales) la Hausdorff la Fórmula: $$\aleph_{\alpha +1}^{\aleph_{\beta}}=\aleph_{\alpha +1}\cdot\aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}}.$$ (La pregunta es un caso particular de $\alpha =1$$\beta =0$).