series de potencia para $\int_0^x e^{-t^2}dt$

Question

Utilice una expansión en serie de potencias conocida para hallar de la función integral $g(x) =\int_0^x e^{-t^2}dt$ centrado en $a=0$

Mi enfoque

Tenga en cuenta que $g'(x) = e^{-x^2}$ . También sabemos que el Maclaurin S $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ .

Entonces, $$g'(x)=e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x^2)^n}{n!}$$ $$g(x) = \int \bigg[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x^2)^n}{n!}\bigg] dx$$ $$g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \int x^{2n}dx $$ $$g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(2n+1)} +K, \text{ where $ K $ is unknown}$$

Considere $x=0$ nos dimos cuenta de que $g(0) = 0 +K = 0$ Por lo tanto $K=0$ . H $$g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(2n+1)}$$

¿Es correcto? No puedo diferenciar entre series de potencia y series de Maclaurin o cosas así. ¿Puede alguien aclararme esto también?

Answer 1

Es correcto, aunque yo habría integrado cada término entre $0$ y $x$ en lugar de la integral indefinida.

Las series de potencias son series de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ . Una serie de Taylor es una serie en la que $a_n=f^{(n)}(x_0)/n!$ y $f$ es un $C^\infty$ en una vecindad de $x_0$ . Si $x_0=0$ se denomina serie Maclaurin.