Hay un categorification de $\pi$?
Tengo que admitir que esta es una muy vaga pregunta. De alguna manera es motivado por esta reciente MO pregunta, lo que me hizo mirar a algunos de dígitos y de alguna manera se olvidó de mi animosidad acerca de esta rama de las matemáticas, y se preguntan si hay una conexión con las ramas me gusta mucho.
$\pi$ es el área del círculo unitario, entonces tal vez tenemos que categorify del círculo unidad (usando la línea proyectiva?) y el área de un objeto. Las áreas son los valores de las integrales, y hay algún tipo de integrales en la categoría de teoría (extremos), pero esto es realmente sólo una conjetura.
Para algunos grandes ejemplos de categorification ver esta lista en el mes, y por el significado de la categorification ver este MO pregunta o que el artículo por Báez/Dolan. Inspirado por las respuestas de Todd Trimble, podemos considerar la posibilidad de un categorified función seno
$$\sin(X) = \sum_{n \geq 0} (-1)^{\otimes n} X^{\otimes (2n+1)} / (2n+1)!$$
en cualquier completar monoidal simétrica categoría (si podemos hacer sentido de $-1$).
Edit: Quizás $(-1)$ debe ser el universal invertible objeto de $\mathcal{L}$ de manera tal que la simetría en $\mathcal{L} \otimes \mathcal{L}$ es igual a $-1$. En la teoría de la $k$-lineal cocomplete monoidal simétrica categorías, esta es la categoría de super espacios vectoriales sobre $k$, es decir, $\mathbb{Z}/2$- graduada de espacios vectoriales, con un trenzado de simetría. Aquí, $\mathcal{L}$ $1$- dimensiones concentrado en grado $1$. Por lo tanto, tenemos una función seno para super espacios vectoriales, es decir,$\sin(V) = \oplus_{n \geq 0} \mathcal{L}^{\otimes n} \otimes V^{\otimes (2n+1)} / \Sigma_{2n+1}$. ¿A qué se parece, y podemos extraer algo que se asemeja $\pi$?
