ninguna serie de funciones $f_n(x) = a_n \sin nx +b_n \cos nx$ que converge a la función $1$ , $|an| +|bn| ≤ 10$ .

Question

Este es un problema de matemáticas en el que estoy luchando.

Demuestre que no hay ninguna secuencia de funciones sobre $[0, 2 \pi]$ del tipo

$$f_n(x) = a_n \sin(nx) +b_n \cos(nx)$$

que converge a la función $1$ casi en todas partes en $[0, 2 \pi]$ y donde $\lvert a_n \rvert + \lvert b_n \rvert \le 10$ .

No he visto un problema como este antes. Creo que puede tener que ver con las series de Fourier, pero aún no lo he aprendido. Perdón por el mal formato.

Gracias

Answer 1

Obsérvese que si $f_n$ es de la forma dada, entonces

$|f_n(x)|\le |a_n|+|b_n|\le 10$ . Por lo tanto, si $f_n\to 1$ a.e., $(f_n-1)^2 \to 0$ a.e. y está limitada por encima por la constante $121$ . Por el teorema de convergencia acotada de Lebesgue:

$$ \int_0^{2\pi} (f_n -1)^2(x) dx \to 0.$$

Pero esto es claramente imposible (ortogonalidad de $(1,\cos(nx),\sin(nx):n\ge 1)$ ). Para ver a través del cálculo directo, observe que

$$\int_0^{2\pi} (f_n -1)^2 dx = \int_0^{2\pi} f_n^2 - 2f_n +1 dx .$$ Ahora $\int_0^{2\pi} f_n dx =0$ . Por lo tanto, ya que $f_n^2\ge 0$ tenemos

$$ \int_0^{2\pi} (f_n-1)^2 dx \ge \int_0^{2\pi} 1 dx =2\pi,$$

una contradicción.