Calcular el $\sum_{i=1}^{[\frac{\sqrt n}{2}]}{n\choose i}$

Question

Se sabe que $\sum_{i=1}^n {n \choose i}=2^n$. Me pregunto cuál sería la suma si queremos cambiar el límite superior de a $\sqrt n/2$, yo. e. Cómo calcular el$$\sum_{i=1}^{[\frac{\sqrt n}{2}]}{n \choose i}?$$

Answer 1

Los términos de la suma creciendo rápidamente, y para un gran $n$, el último término es mucho más grande que todas las demás. El aproximado de respuesta es, por tanto, $\binom{n}{\sqrt{n}/2}$ y el primer $k$ términos de un asintótica de expansión puede ser tenido por la adición de la última $k$ términos en la suma. Fórmulas exactas para simplificar la suma no existen.