Pregunta sobre conjuntos cerrados

Question

Si $A,B\subset\mathbb{R}^n$ están cerradas. Deja que $$M=\{p\in\mathbb{R}^n\,:\,\exists\,t\in[0,1],a\in A,b\in B\;\mathrm{s.t.}\;p=t\cdot a+(1-t)\cdot b\}$$ Es $M$ ¿Cerrado? ¿Por qué?

Answer 1

He aquí un contraejemplo. Tomemos $A=\{(1,0)\}$ y $B=\{(0,m)\;|\;m\in Z\}$ . Obsérvese que ambos conjuntos son cerrados ya que todos los puntos están aislados. Por otro lado, $M$ contiene todos los segmentos de línea que conectan cada punto de cada conjunto. La pendiente de estas líneas se acerca a una línea vertical, por lo que podemos acercarnos arbitrariamente a cualquier punto de la línea $x=1$ pero esta línea no está en $M$ .

Answer 2

Supongamos que $A,B$ son compactos. Tenga en cuenta que $M$ es la imagen del conjunto compacto $A \times B \times [0,1]$ bajo el mapa continuo $f(a,b,t) = ta+(1-t)b$ .