Hay maneras sencillas de ver que $e^z-z=0$ tiene una infinidad de soluciones?

Question

José Bak y Donald Newman análisis complejo libro (pág.236) tiene una prueba de que la ecuación de $e^z-z=0$ tiene una infinidad de soluciones complejas:

Tengo curiosidad por ver si hay alguna especialmente elegante maneras de ver esto, más que la que se da en el texto.

Answer 1

Si utiliza el bastante profunda resultado de Picard esencial de las singularidades, a continuación, puede probar esto de la siguiente manera: $f(z) = e^z-z$ tiene una singularidad esencial en el infinito. Por lo tanto, $f$ alcanza todos los valores infinitamente muchas veces con una sola excepción (que es, en la mayoría de un solo valor podría ser alcanzado sólo un número finito de veces). Esta excepción podría todavía ser $0$. Sin embargo, $f$ también satisface $f(z + 2\pi i) = f(z) - 2\pi i$. Ahora $f$ alcanza al menos un valor en $\{0, 2\pi i\}$ infinidad de veces. En ambos casos se sigue que $f$ debe tener un número infinito de ceros.

Answer 2

Un elemental de la prueba: Vamos a $z = x +y i$ $|e^z| = |z|$ precisamente si $e^{2x} = x^2 + y^2$. Si $x \geq 0$ $e^{2x} - x^2 > 0$ $y = (e^{2x} - x^2)^{1/2}$ es una solución positiva de esta ecuación. Esto significa que para todos los $x \geq 0$ hay un $y \geq 0$ tal que $|e^z| = |z|$. El argumento de $z$ $[0, \pi/2]$ desde $x, y \geq 0$. El argumento de $e^z$$y$. Desde $y \to \infty$ al $x \to \infty$ hay infinitamente muchos de esos $z$ para $|e^z|=|z|$$\arg(e^z) \equiv \arg (z) \pmod {2\pi}$. Estos $z$ son por lo tanto las raíces de $e^z-z$.

Answer 3

Una forma de ver esto es darse cuenta de que $f(z)=e^z$ $\{z\in\mathbb{C}:0\leq\mathrm{Im}(z)<2\pi\}$ fundamental región y período de $2\pi i$. Fundamental para la región se proyecta sobre el plano (excluyendo $0$), así como con cada cambio de la región por múltiplos enteros de $2\pi i$. A partir de ahí, no es difícil mostrar que no debe ser infinitamente muchos $z\in\mathbb{C}$ que $f(z)=z$.

Sólo queda mostrar (como se señala más adelante por Harald) que en cada cambio de la región hay al menos una solución, es decir, al menos un cero de la función $g(z)=e^z-z$. Harald sugerencia de aplicar el argumento de principio (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Argument_principle si fuera necesario) es buena. Observa que la función es todo (así que no hay polos), usted realmente sólo necesita demostrar que $\oint_C\frac{e^z}{e^z-z}dz$ no$0$ (donde $C$ es el contorno de él propone) para suficientemente grande $M$.