La pregunta es si el tiempo es un operador en el sentido de ${\hat T}|t\rangle~=~t|t\rangle$. Esto a primera vista parecería tener sentido porque tenemos una posición de operador ${\hat X}|x\rangle~=~x|x\rangle$. Sin embargo, esto no funciona. Esta es una sutil pregunta de muchas maneras.
La mecánica cuántica es unitaria. Considere la posibilidad de un estado de vectores $|\psi(t)\rangle$ evolucionar hacia un pequeño incremento de tiempo, por lo $|\psi(t)\rangle~\rightarrow~|\psi(t + \delta t)\rangle$. Una expansión de Taylor esta da
$$
\psi(t + \delta t)\rangle~=~|\psi(t)\rangle + \frac{\partial|\psi(t)\rangle}{\partial t}\delta t + O(\delta t^2).
$$
Ahora escribo $|\psi(t)\rangle~=~e^{-i\omega t}|\psi(t_0)\rangle$, y el uso de de Broglie-como la relación $\omega~=~E/\hbar$, de modo que la energía $E$ es un autovalor de la Hamiltoniana ${\hat H}|E\rangle~=~E|E\rangle$. Podemos ver que el operador Hamiltoniano es el Hermitian generador de la central unitaria de tiempo de desarrollo de operador $U(t)~=~e^{i{\hat H}t/\hbar}$. El Hamiltoniano es, entonces, el generador que cuenta cómo un estado evoluciona como $t~\rightarrow~t' > t$, e ${\hat H}~=~i\hbar\partial/\partial t$.
Supongamos que el tiempo es un operador. Ahora podemos examinar el desarrollo de la energía de un estado $|\psi(E)\rangle~\rightarrow~|\psi(E + \delta E)\rangle$ y de la misma manera podemos ver que el tiempo que el operador es ${\hat T}~=~-i\hbar\partial/\partial E$. Hasta ahora las cosas parecen bien. Podemos calcular el conmutador de dos operadores que actúan en $|\psi(t)\rangle$ $|\psi(E)\rangle$
$$
[{\hat T}, {\hat E}]|\psi(t)\rangle = [{\hat T}, i\manejadores\frac{\partial}{\partial t}]|\psi(t)\rangle
$$
$$
= -i\manejadores\left({\hat T}\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle~-~\frac{\partial}{\partial t}\big({\hat T}|\psi(t)\rangle\big)\right)~=~i\manejadores|\psi(t)\rangle.
$$
La misma funciona si tenemos en cuenta $|\psi(E)\rangle$${\hat T}~=~-i\hbar\partial/\partial E$.
Considere la posibilidad de un Hermitian tiempo de operador ${\hat T}$ tal que $[{\hat T},~H]~=~i\hbar$, por lo que un operador unitario $U_\epsilon~=~exp(-i\epsilon{\hat T})$ existe. Este es un desarrollo de la energía del operador, donde $\epsilon$ está en el conjunto de los reales. El estado $\psi$ en el eigenbasis de un Hamiltoniano $H\psi~=~E\psi$, con conmutador
$$
[U_\epsilon,~H]~=~\sum_{n=0}^\infty{{(-i\epsilon)^n}\over{n!}}[{\hat T}^n,~H]~=~-\epsilon U_\epsilon.
$$
define el compuesto operador $HU_\epsilon$
$$
HU_\epsilon\psi~=~(U_\epsilon H~-~[U_\epsilon,~H])\psi~=~(E~+~\epsilon)U_\epsilon\psi.
$$
$U_\epsilon\psi$ es un eigenstate de los Hamiltonianos con autovalor $E~+~\epsilon$. El Hamiltoniano $HU_\epsilon$ no es discreta o acotada por debajo, ya que $\epsilon$ tiene un continuo de valores en los reales. Si el Hamiltoniano $H$ es discreta y limitada por debajo de la $U_\epsilon$ mapas de estos autovalores en el conjunto de los reales, y el operador de tiempo no existe
Definir el tiempo de operador
$$
{\hat T}~=~i\manejadores\sum_{j\ne k}{{|E_j\rangle\langle E_k|}\over{E_j~-~ E_k }}.
$$
que actúa sobre un ket $|t\rangle~=~N^{1/2}\sum_nexp(iE_nt/\hbar)$
$$
{\hat T}|t\rangle~=~i\manejadores\sum_{j\ne k}{{|E_j\rangle\langle E_k|}\over{E_j~-~E_k }}|t\rangle~=~a^{-1/2}\manejadores\sum_{j\ne k}(E_j - E_k)^{-1}|E_j\rangle e^{-iE_kt/ħ}.
$$
Esta es una de Fourier suma, que en el continuum límite de da $t|t\rangle$ por la integral de Cauchy fórmula. Ahora calcular elementos de la matriz de $[T,~H]$ $|\psi\rangle~=~\sum_ja_j|E_j\rangle$
$$
\sum_ja_j\langle E_i|[T,~H]|E_j\rangle~=~i\manejadores\sum_{j,k,l}a_j\langle E_i|(E_k~-~E_l)^{-1}|E_k\rangle\langle E_l |E_j\rangle
$$
$$
=~i\manejadores\sum_{j,k}a_j\langle E_i| (E_k~-~E_j)^{-1}|E_k\rangle,
$$
donde el elemento de la matriz $\langle E_i|(E_k~-~E_j)^{-1}|E_k\rangle~=~\delta_{ik}(E_k~-~E_j)^{-1}$. $|E_i\rangle$ no está en la proyectiva que la suma de los tiempo de operador para $[{\hat T},~H]~=~i\hbar$, y, en general $[{\hat T},~ H]~=~0$.
Una secuencia de Cauchy de los estados convergen a un almacén de estado $|\psi\rangle~=$ $\sum_{j=0}^Na_j(N)|E_j\rangle$, para $N$ el límite en el conjunto completo. Para el coeficiente de $\sim~(1/j)$ $N~\rightarrow~\infty$ la acumulación punto contiene un denso conjunto de puntos con $E~+~\delta E$ autovalores de la energía que satisfacer $\sum_j\langle E_j|\psi\rangle~=~0$. Esto significa que el colector $[T,~H]~=~i\hbar$ sostiene en un conjunto de medida cero, y para la función $\psi(t)$ casi una función periódica.
