Como a menudo, es difícil contestar a esta pregunta porque el OP dice nada acerca de sus antecedentes. De todos modos, de un enfoque estándar para determinar la recurrencia/transitoriedad de una cadena de Markov (de su tipo) es calcular $P_1(T_0\,\text{infinite})$ como el límite de $P_1(T_n\lt T_0)$ al $n\to\infty$, ya que cada una de las $P_1(T_n\lt T_0)$ implica sólo un número finito de cadenas de Markov.
En el caso que nos ocupa, para cada uno positivo $n$, la propiedad de Markov después de un paso muestra que las cantidades $u_i=P_i(T_n\lt T_0)$ resolver el sistema $u_0=0$, $u_n=1$, y, para cada $1\leqslant i\leqslant n-1$, $$u_i=p_{i,i+1}u_{i+1}+p_{i,i-1}u_{i-1},$$ Assume furthermore that, as in the case at hand, there exists some positive sequence $(w_i)_{i\geqslant1}$ such that, for every $i\geqslant1$, $$w_{i+1}p_{i,i+1}=w_ip_{i,i-1},$$ then $$\frac{u_{i+1}-u_i}{w_{i+1}}=\frac{u_i-u_{i-1}}{w_i},$$ that is, $$u_{i+1}=u_i+\frac{w_{i+1}}{w_1}u_1,$$ hence, $$u_i=\frac{u_1}{w_1}\sum_{k=1}^iw_k.$$ The limit condition $u_n=1$ shows finally that $$u_1=\frac{w_1}{\sum\limits_{k=1}^nw_k}.$$ Thus, when $n\to\infty$, $$P_1(T_n\lt T_0)=\frac{w_1}{\sum\limits_{k=1}^nw_k}\to\frac{w_1}{\sum\limits_{k=1}^\infty w_k}=P_1(T_0\,\text{infinite}).$$
En el ejercicio, $w_i=i^{-a}$ por lo tanto, todo esto produce:
Si la serie $\sum\limits_kw_k$ diverge, entonces $P_1(T_0\,\text{infinite})=0$, es decir, la cadena de Markov es recurrente. Al $w_i=i^{-a}$ por cada $i$, esto ocurre si y sólo si $a\leqslant1$.
Si la serie $\sum\limits_kw_k$ converge, entonces $P_1(T_0\,\text{infinite})\ne0$, es decir, la cadena de Markov es transitorio. Al $w_i=i^{-a}$ por cada $i$, esto ocurre si y sólo si $a\gt1$.
Nota: El probabilístico estructura oculta detrás de estas furioso cálculos (particularmente simple en el presente caso) se llama una red eléctrica, ver el pequeño libro al Azar de los paseos y las redes eléctricas por Doyle y Snell para una magistral exposición de la materia.
