¿Cuál es la razón para nombrar una función impar o incluso

Question

Decimos que una función se llama impar si $$f(-x)=-f(x)\\ (1)$$ y se llama a una función incluso si $$f(-x)=f(x)\\\\\\ (2)$$ Pero por qué los llamamos impar e incluso. Me parece una elección de nombre muy peculiar. Después de un poco de trabajo lo que vi es esto: $$ \begin{array}{ | m{1cm} | m{1cm}| m{5em}| } \hline f(x) & g(x) & f(g(x)) \{\text{even/odd}\} \\ \hline even & even & even \\ \hline \hline even & odd & even \\ \hline \hline odd & even & even \\ \hline \hline odd & odd & odd \\ \hline \end{array} $$

Ahora bien, si pensamos en las funciones como números en $\Bbb{N}$ entonces todo lo que ocurre en la tabla anterior es cierto si pensamos en la composición de funciones como la multiplicación de números en $\Bbb{N}$ . Pero no parece correcto tomar la multiplicación como lo mismo que la composición de funciones. Entonces, ¿hay alguna otra razón por la que hemos nombrado funciones que van de acuerdo con las propiedades $(1)$ y $(2)$ como impar e incluso respectivamente.

Nota: He escrito una tabla que no parece procesar. Así que si alguien puede amablemente editar la pregunta y arreglar la tabla sería muy bueno. Gracias

Answer 1

Una función polinómica con todos los términos de una potencia impar es una función impar. Una función polinómica con todos los términos de una potencia par es una función par.

Y la función impar * una función impar es una función par (como un número impar + un número par)

Y la función par * una función par es una función par (como un número par + un número par)

Answer 2

¿Le parece realmente peculiar? ¿Por qué llamamos "pares" a los números divisibles por dos y "Impares" a los que no lo son? "Par" significa.... bien, "equilibrado", nivelado, simétrico, etc. Un número par se divide perfectamente por la mitad por lo que "par" tiene sentido. Del mismo modo, si f(-x) = f(x) su gráfico es una imagen especular perfecta: reflectante e igual en cualquier dirección... es decir, "par". impar también significa autorreflexivo pero desviado. Un número impar se divide en mitades con un núcleo central desequilibrado. Una función impar f(-x) = -f(x) gira y se ajusta sobre sí misma pero no es reflexiva. La negatividad influye en ella. Es un factor de ponderación impar.

Pero la mejor mnemotecnia y probablemente el origen del término es la función $f(x) = x^n$ que es par o impar precisamente cuando $n$ es impar o incluso.

... o puede tener algo que ver con las transformaciones. Si giras algo por $k\pi$ radianes. Si $k$ es impar que una rotación impar y la función es al revés. Si $k$ es incluso esos son incluso la rotación y la función vuelve a su alegre lado derecho hacia arriba.

Answer 3

Esta es una razón realmente genial. Pensemos en el conjunto de polinomios $f(x) = x^n$ . Si $n$ es incluso entonces $f(-x) = f(x)$ y si n es impar $f(-x) = -f(x)$ .

Si se observa otra función como $\sin$ el polinomio maclaurin para esa función sólo tiene potencias Impares y $\cos$ sólo tiene poderes pares así que $cos$ es par y $sin$ es impar.

Esto es válido para todas las funciones pares e Impares. El polinomio maclaurin de una función par sólo tiene potencias pares y el polinomio maclaurin de una potencia impar sólo contiene potencias Impares.