Isometría entre el$l^p$$L^p$.

Question

Considere la posibilidad de $p\in[1,\infty)$ y el operador $T:l^p\rightarrow L^p([0,\infty))$: $$ Tx=\sum_{n=1}^\infty x_n\chi_{[n-1,n]} \qquad\forall\,x\(x_1,x_2,\ldots,)\en l^p $$ Demostrar que $T$ es una isometría. Mi idea era empezar con las definiciones de las normas: $$ ||x||_{l^p}^p=\sum_{n\in\mathbb{N}}|x_n|^p=\sum_{n\in\mathbb{N}}\int_0^\infty|\chi_{[n-1,n]}x_n|^p\,d\mu = (\cdots) = \int_0^\infty|\sum_{n\in\mathbb{N}}x_n\chi_{[n-1,n]}|^pd\mu=||Tx||_{L^p}^p $$ Echo de menos la parte central y no estoy seguro de que es posible "conectar" las normas de esta manera. Traté de pensar acerca de algunas teorema acerca de los límites de las integrales de exchange, pero no encontré nada. O es mejor probar el inequatilities entre las normas?

Answer 1

Nota el disjointness de los apoyos en la suma. Se desmenuza muy bien.

$$||x||_{l^p}^p =\sum_{n\in\mathbb{N}}|x_n|^p = \sum_{n\ge 1}|x_n|^p\int_{n-1}^n d\mu =\sum_{n\in\mathbb{N}}\int_0^\infty|\chi_{[n-1,n]}x_n|^p\,d\mu =||Tx||_{L^p}^p $$