Una condición para que la intersección de dos variedades suaves sea una variedad suave es que se crucen transversalmente. ¿Es esto sólo un obstáculo debido a la estructura lisa?
Pregunta: ¿Es la intersección de dos variedades topológicas siempre una variedad topológica? Si no es así, ¿hay condiciones que se puedan añadir al colector (no la intersección lisa+transversal) para que sea cierto?
En realidad, la intersección de dos variedades topológicas en un espacio euclidiano puede ser casi cualquier cosa. He aquí un ejemplo para mostrar lo mal que pueden ir las cosas. Sea $C$ sea cualquier subconjunto cerrado de $\mathbb R^n$ lo que sea, y que $f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R$ sea la función $$ f(x) = \operatorname{dist}(x,C). $$ Así, $f$ es continua, y $f(x)=0$ si y sólo si $x\in C$ .
Dejemos que $M\subset\mathbb R^{n+1}$ sea el gráfico de $f$ y que $N\subset\mathbb R^{n+1}$ sea la gráfica de la función cero (es decir, $N = \mathbb R^n\times \{0\}$ ). Entonces $M$ y $N$ son ambos submanifolds topológicos de $\mathbb R^{n+1}$ y $M\cap N = C \times \{0\}$ .
Si se me permite hacer otra pregunta: ¿Existe alguna condición conocida (aparte de la suavidad + la transversalidad) que garantice que la intersección es una variedad topológica?
No, la intersección general de las variedades topológicas no tiene por qué ser otra variedad topológica.
Por ejemplo, supongamos que tengo dos variedades bidimensionales $M_1$ y $M_2$ . Aquí $M_1$ es el $xy$ -planea en $\mathbb{R}^3$ y $M_2$ es la unión de la esfera unitaria $S_a$ con centro $a=(0,0,1/2)$ y de la esfera unitaria $S_b$ con centro $b=(3,0,1)$ . Si quieres $M_2$ para estar conectado, puede conectarse $S_a$ a $S_b$ a través de un tubo que no se cruza con el $xy$ -Avión.
Como puede ver, la intersección $M_1\cap M_2$ consiste en un círculo en el $xy$ -plano (en $\mathbb{R}^3$ ) con centro $(0,0,0)$ junto con el punto $(3,0,0)$ . Es un objeto que es a la vez unidimensional y bidimensional, que no puede ser un colector.
¿Es éste el único obstáculo? Si la intersección resultara ser equidimensional (en algún sentido), ¿sería entonces un colector?
Creo que también se necesitan algunas condiciones para garantizar que las topologías de los dos colectores coincidan en el solapamiento.
@joseph123 Claro que depende de la definición de equidimensión. Como sabes, si $M_1,M_2\subset X$ son submanifolds de alguna variedad $X$ y si $M_1$ y $M_2$ se cruzan transversalmente, entonces $M_1\cap M_2$ es de nuevo un colector. Supongo que lo que buscas es un conjunto $S$ de manera que todos puedan estar de acuerdo con la dimensión de $S$ pero hay algo que descalifica $S$ de ser un colector. Un ejemplo de esto podría ser si $S$ es el conjunto de Cantor, que parece bastante $0$ -de las dimensiones, pero no es un colector. El verdadero problema es entonces encontrar $M_1$ y $M_2$ , de tal manera que $M_1\cap M_2 = S$ (si es posible).
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Existe una teoría de la transversalidad topológica, pero es bastante difícil. Véase Kirby-Siebenmann, "Foundational Essays on Topological Manifolds".
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Muchas gracias. Lo comprobaré.