Permítanme añadir a Alistair respuesta:
(1. Morita equivalencia) [Este es un suplemento para el aspecto de la aljaba de las representaciones mencionadas en Alistair respuesta] Cada asociativa finito dimensionales $k$-álgebra $A$ es Morita equivalente a una ruta de álgebra $kQ/I$ (este es otro de Gabriel teorema). En particular, se tiene una muy bonita equivalencia (tan agradable que los functors dar dicha equivalencia se dan por tensoring f.g. proyectiva bimodules) de abelian categorías $A-Mod$$kQ/I-Mod$, y así, básicamente, (casi) todo lo que quieres saber acerca de la representación de $A$ ($A$-los módulos) puede ser aprendido de un estudio de la $kQ/I$-módulos. Y el estudio de la aljaba de representación es mucho más fácil porque, como ruta de álgebra básica, es decir, todos sencillos módulos son de 1 dimensión, la cual es equivalente a decir que todos proyectiva indecomposable son sólo de multiplicidad 1 en $kQ/I$, se puede decir que esto se hace homológica comportamiento de los módulos mucho más fácil el estudio; en particular, muchas cosas se pueden hacer de forma combinatoria.
(2. De Auslander-Reiten teoría) Esta parte no se relacionan directamente con "¿por qué la aljaba de representación", sino "¿por qué tiembla". Resulta que podemos tratar abelian categorías (de hecho o de functorially finito de categorías) bastante mucho la misma manera que un álgebra; se puede hablar de "irreductible de mapas"; en particular, hay una combinatoria gadget llamado de Auslander-Reiten carcaj, donde los vértices están en correspondencia con indecomposable $A$-módulo y flechas dada por irreducible mapas. De tal manera, uno puede "ver" la categoría de bien con una muy buena forma de aljabas. Y sorprendentemente, la forma de la aljaba que aparecen en esta construcción también sigue de Dynkin de clasificación.
(3. La teoría de clúster) Uno de los más emocionantes de desarrollo en la teoría de la representación en la última década es la "teoría de clúster" introducido por el Fomin y Zelevinsky; el centro de la teoría es un álgebra llamado el clúster de álgebra, que es una especie de doble imagen a Mentir álgebra (yo nose conoce exactamente el argumento para esto). Pero el algebraicas configuración de clúster es bastante difícil trabajar con ellos algunas veces, y resulta que podemos recurrir a una operación en la vacilante llama de la aljaba de mutación para sustituir la base de los elementos del clúster de álgebra. Ahora, la gente "categorify" esta configuración (que en realidad es una encarnación de la Auslander-Reiten teoría que he mencionado anteriormente) y se encontró que podemos utilizar la derivada de la categoría de la categoría de módulo de la ruta de álgebra $kQ$ a un estudio de la propiedad de los clúster de álgebras.
(4. Sala de álgebra) Hay una construcción de álgebra, llamada Sala de álgebra (de un abelian categoría). Ringel demostrado una increíble teorema en la década de los 90 que, si usted toma un Dynkin carcaj $Q$, y considerar la categoría de módulo $kQ-mod$, luego tomar la Sala de álgebra $H_Q$$kQ-mod$, resulta $H_Q$ es isomorfo como un álgebra de Hopf a la mitad de la quantrum grupo de Lie álgebra de tipo $Q$. es decir, el estudio de la aljaba de representaciones nos permiten conocer más desconocido propiedades cuánticas del grupo.
(5. Carcaj variedad/representación geométrica de la teoría) [Esta es la impresión que tengo, por favor me corrija si me equivoco] Si usted recuerda de la prueba de Gabriel teorema sobre la clasificación de los finitos de tipo (unquotiented) ruta de acceso de álgebras, usted verá que hay alguna acción de grupo lineal general en el carcaj. Nakajima, de alguna manera se extiende esta idea y desarrolló todo un nuevo enfoque para hacer teoría de la representación a través de los métodos geométricos, a través de los llamados Nakajima (carcaj) variedad.
