$8x +9y = 5$ donde $x,y \in \mathbb{Z}$

Question

Resolver la siguiente ecuación Diophantine algebaically: $$8x+9y=5$$ Dar 3 posibles soluciones para la ecuación

Tengo lo siguiente:

El Diophantine ecuación tiene soluciones $x,y \iff 8x=5\mod{9}$ tiene una solución $x \equiv\mod{9}$

Desde $\gcd(8,9)=1$, por Bezout del Lexema, por $r,t \in \mathbb{Z}, \gcd(8,9)=1=r(8)+t(9)$ $x\equiv r(5)\mod{9}$ es una solución para el lineal de congruencia anterior.

Por el algoritmo de Euclides para determinar el $\gcd(8,9)$ hemos

\begin{align}9 &= 1(8) +1 \\ 8 &=9(1)+0\end{align} por lo $1=(-1)8 + 1(9)$$r=-1 \implies x \equiv(-1)5\mod{9}$.

Ahora \begin{align}[-5]_9 &= \{-5 + 9k \ | k\in\mathbb{Z} \} \\ &= \{ ..., -5,4,13,... \} \\ &=[4]_9\end{align} $\therefore x \equiv 4 \mod{9}$ $x=4+9k$ todos los $k \in \mathbb{Z}$ sobre los cuales se puede ver que $y= -3 -8k$.

Es esto correcto?

Answer 1

Elija $x$ o $y$ ? Vamos a resolver para $x$: $x = \dfrac{5-9y}{8} = \dfrac{5-y}{8} - y \Rightarrow 5-y = 8k \Rightarrow y = 5 - 8k \Rightarrow x = k - (5-8k) = 9k-5$. Por lo tanto:

$(x,y) = (9k-5,5-8k), k \in \mathbb{Z}$

Answer 2

$8x+9y=5\iff8~(x+y)+y=5=8\cdot0+5\iff x+y=0$ $y=5\iff x=-5$ . A continuación, todos los números de la forma $x=-5-9k$ $y=5+8k$ son soluciones de la ecuación anterior.