¿Todos los miembros de esta secuencia ha $8$ divisores?

Question

Definir el conjunto $A$ como un subconjunto de a $\mathbb{N}$ como sigue: Tome todo el divisor pares de un número natural $n$ (con la excepción de$n$$1$), dividir el mayor de cada par por el más pequeño, y luego tomar el producto resultante. Si este número $=n,$ es un miembro del conjunto.

Por ejemplo, el divisor pares de $24$ (excluyendo $1$ y de la misma), se $(2,12),(3,8),(4,6).$ Dividir el mayor por el menor: $6,8/3,3/2$ y multiplicar juntos $=24.$ por lo tanto $24$ es un miembro del conjunto.

Se inicia la secuencia: $1, 24, 30, 40, 56, 64, 70, 105, 135, 154\dots$

Con la excepción de $1$ $p^6$ (donde $p$ es primo), todos los miembros de $A$ parecen tener $8$ divisores. Es decir, $\sigma_0(n)=8,$ todos los $n\in A.$ Es esto cierto?

Hay otras maneras de formular la secuencia, por ejemplo: el producto de la más grande de cada divisor de par excluyendo $n$ ifself $=n^2.$ (Si $n$ es un cuadrado, incluye $\sqrt{n}$.)

por ejemplo para $n=24,$ de los mayores de cada divisor de par: $6,8,12.$ de Su producto $=24^2.$

He seached oeis, pero la secuencia de doen't característica.

Answer 1

Utilizando su definición alternativa, es bastante obvio que la afirmación es verdadera.

De hecho, si $d_i$ son los mayores de cada divisor de par, entonces (excluyendo la posibilidad de $n$ ser un cuadrado) $\sqrt n<d_i<n$. Por lo tanto el producto de los cuatro términos es demasiado grande para $n^2$ y el producto de los dos es demasiado pequeño. Esto sólo deja la opción de tres $d_i$, lo que significa cuatro divisor de los pares si contamos $(1,n)$, lo que supone ocho divisores.

Con $n$ ser un cuadrado, la misma línea de pensamiento conduce a cuatro divisor pares uno de los cuales es $(\sqrt n,\sqrt n)$. Esto significa siete divisores, que sólo es posible a $n=p^6$.

Como para el posible primer firma de la no-cuadrado de $n$, ocho divisores son posibles en los números de la forma $p^7,\,p^3q,\text{ or }pqr$. Por la escritura de los divisores y conectarlos en la fórmula, vemos enseguida que:

• $pqr$ $p<q<r$ funciona si $r<pq$;
• $p^3q$ funciona si $p<q<p^3$;
• $p^7$ nunca funciona.