Polinomio complejo P con $P(n)= (-1)^n$

Question

Quiero demostrar que no hay ningún polinomio P con coeficientes complejos tal que $P (n) = (1)^n$ para todos los enteros n.¿Existe una función entera con esta propiedad?

Gracias.

Answer 1

Para profundizar (ligeramente) en los comentarios: si $P(x)$ fuera un polinomio de este tipo, entonces tanto $P(x)+1$ y $P(x)-1$ tendría infinitos ceros (y por tanto sería constante).

$cos(\pi x)$ es todo un ejemplo.

Answer 2

Ad absurdum, supongamos que $P$ es un polinomio de este tipo. Sea $Q$ el polinomio con la parte real del coeficiente de $P$ , id est $P=Q+iT$ , donde $Q,T$ son polinomas reales.

Si $\forall n, P (n) = (−1)^n$ entonces $\forall n, Q (n) = (−1)^n$ (De hecho $P(n)=Q(n)+iT(n)$ y $Q(n),T(n)$ son ambos reales porque $n$ es real y $Q,T$ son polinomas reales, así que por identificación de la parte real de $(-1)^n$ tenemos $Q (n) = (−1)^n$ ), entonces $\forall n, \exists a \in (n, n+1)$ como $Q(a)=0$ (consecuencia del teorema del valor intermedio). Así que $Q$ tiene una infinidad de raíces, por lo que $Q=0$ pero $Q(0)=1$ Es absurdo.

Así que no hay tal polinomio.

El ejemplo para una función completa se da en la sección de comentarios :).

Answer 3

Si $P$ es polinómica, entonces $|P(x)|\to \infty$ como $|x| \to \infty,$ a menos que $P$ es constante. Por lo tanto, si $(a_n)$ es una secuencia acotada con más de un término distinto, entonces no hay ningún polinomio $p$ tal que $p(n) = a_n$ para todos $n.$