El uso de De Moivre a un número complejo

Question

Tengo esta pregunta en la que estoy atascado, aquí está la pregunta y lo que hice.

Encuentra el más pequeño número entero positivo de tal manera que $ \left ( \sqrt {3}+i \right )^m= \left ( \sqrt {3}-i \right )^m$ .

Amplié cada lado usando el de De Moivre, $ \cos\left (30m \right )+i \sin\left (30m \right )= \cos\left (-30m \right )+i \sin\left (-30m \right )$ .

Traté de comparar cuando $ \cos\left (30m \right )= \cos\left (-30m \right )$ y $ \sin\left (30m \right )= \sin\left (-30m \right )$ pero ninguno de los cuadrantes funciona, la respuesta es $m=6$ que corresponde al Cuadrante 3 y 4 (tan y cos).

Estoy en el décimo año aprendiendo el complejo, así que si hay métodos más difíciles, no me lo muestres.

Answer 1

$$ \left ( \sqrt {3}+i \right )^m= \left ( \sqrt {3}-i \right )^m$$ $$2^m \left ( \frac { \sqrt {3}}{2}+ \frac {i}{2} \right )^m=2^m \left ( \frac { \sqrt {3}}{2}- \frac {i}{2} \right )^m$$

$$e^{i \theta }= \cos\theta +i \sin\theta $$

Usando la fórmula anterior podemos escribir $$2^m(e^{i \pi /6})^m=2^m(e^{-i \pi /6})^m$$

$$e^{mi \pi /6}=e^{-mi \pi /6}$$

$$e^{2mi \pi /6}=e^{mi \pi /3}=1$$ $$e^{mi \pi /3}=e^{2ik \pi }$$

$$ \frac {mi \pi }{3}=2ik \pi $$ $$ \frac {m}{3}=2k$$ $$m=6k$$

donde $k \in\mathbb Z$